第64课 通项与求和(1)
1. 熟练掌握等差、等比数列的通项公式，能将一些特殊数列转化为等差、等比数列;求通项. 2. 掌握求非等差、等比数列的通项公式的常用方法.
1. 阅读：必修5第37～39页、第51～53页.
2. 解悟：①等差数列和等比数列通项公式形式的联系与区别；②体会课本中推出等差数列和等比数列通项公式的方法；③整理求数列通项公式的常用方法.
3. 践习：在教材空白处，完成第39页思考、第41页第10题，第53页思考、第54页第4题.
基础诊断
1. 已知等差数列{an}的公差为d，则an－am＝ (n－m)d .
解析：因为数列{an}是等差数列，且公差为d，所以an－am＝a1＋(n－1)d－[a1＋(m－1)d]＝(n－m)d.
an＋1n12. 在数列{an}中，a1＝1，＝，则an＝ .
ann＋1na2a3a4an123n－11
解析：当n≥2时，an＝a1××××…×＝1××××…×＝；当n＝1时也
a1a2a3an－1234nn1
成立，故an＝. n
3. 若数列{an}满足a1＝1，an＝n＋an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 an＝
n（n＋1）2 .
解析：由an＝n＋an－1可变形为an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，由此可写出以下各式：an－an－1
＝n，an－1－an－2＝n－1，an－2－an－3＝n－2，…，a2－a1＝2，将以上等式两边分别相加，得an－
a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2，所以an＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝
n（n＋1）
2
.
4. 在斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…中，任意连续的三项an，an＋1，an＋2的关系是 an＋2＝an＋an＋1 . 范例导航
考向? 利用“累乘、累加”法求通项
1
例1 已知数列{an}满足a1＝，数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝2，bn＋1
2
1
＝2bn.求数列{an}，{bn}的通项公式.
解析：因为Sn＝n2an(n∈N*)， 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，
n－1
所以(n＋1)an＝(n－1)an－1，即＝.
an－1n＋1
1又a1＝，
2所以an＝
ananan－1
×
an－1an－2a3a2n－1n－2n－32111
××…×××a1＝×××…×××＝. an－2an－3a2a1n＋1nn－1432n（n＋1）1
当n＝1时，上式成立，故an＝. n（n＋1）因为b1＝2，bn＋1＝2bn，
所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn＝2n.
?1?
已知a1＝2，an＋1＝an＋ln?1＋?，求数列{an}的通项公式.
?
n?
?1?解析：因为an＋1＝an＋ln?1＋?，
?
n?
1?n?
所以an－an－1＝ln?1＋?＝lnn－1(n≥2)，
?n－1?所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝ln
n－13＋ln＋…＋ln＋ln2＋2 n－1n－22
nn－13??n××…××2? ＝2＋ln?
2??n－1n－2
＝2＋lnn(n≥2).
又a1＝2满足上式，故an＝2＋lnn(n∈N*).
【注】 (1) 形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求出通项，特别注意能消去多少项，保留多少项.
(2) 形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为
an＋1
＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝an 2
anan－1
·
an－1a2
·…··a1代入求出通项. an－2a1
(3) 求数列的通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除叠加、迭代、累乘外，还应注意配凑变形法. 变形的主要目的是凑出容易解决问题的等差或等比数列，然后再结合等差、等比数列的运算特点解决原有问题.求通项公式时，还可根据递推公式写出前几项，由此;猜测归纳出通项公式，然后再证明.
考向? 构造等差、等比数列求通项
例2 (1) 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式；
(2) 已知数列{an}满足a1＝2， an＋1＝2an＋2n＋1，求数列{an}的通项公式. 解析：(1) 因为an＋1＝3an＋2， 所以an＋1＋1＝3(an＋1). 又a1＝1，所以a1＋1＝2，
故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， 所以an＋1＝2×3n－1， 故an＝2×3n－1－1.
(2) 因为an＋1，所以an＋1an
n＋1＝2an＋22n＋1＝2n＋1.
又a1
2＝1， 故数列??an???
??
2n???是首项为1，公差为1的等差数列，
所以an
2
n＝n，即an＝n·2n.
已知数列{an
n}满足a1＝2，an＋1＝
a2
，n∈N*，求数列{an}的通项公式. 解析：因为aan1＝2，an＋1＝
2
，
所以2a2
n＋1＝an，且an>0，
两边取对数，得lg 2＋2lg an＋1＝lg an， 即lg a1
n＋1＋lg 2＝2(lg an＋lg 2).
因为lg a1＋lg 2＝2lg 2，
3