欧氏几何与非欧几何
整个欧氏几何的理论大厦，建筑在 5 条几何公理 ( 公设 ) 的基础之上，这 5 条公理是：
(1) 从任一点到另外一点能作一条直线 ( 简言之，即通过任意两点可作一条直线 ) ； (2) 任何一条有限直线可以沿着直线不断延长； (3) 以任意一点为中心，任一距离为半径能作一圆； (4) 凡直角皆相等；
(5) 若一条直线与两直线相交，在同侧的两个内角之和小于两直角，那么不加限制地延长这两条直线，必在该侧相交于一点．
前四条公理都十分简明，容易为人们经验所检验．而第五条 ( 称“第 5 公设” ) 却显得冗长繁琐，不易检验．历代都有人想把它当作定理由其他 4 条公理推证出来，从而将它排除在公理之外．其结果虽然都归于失败，但却推得若干与它等价的命题，其中 Playfair(1748 — 1819) 提出的等价命题最为著名：
过一点能作一条且只能作一条直线，平行于给定的直线．不少教科书( 包括我国现行中学几何课本 ) 都用它来代替第 5 公设，并把它称为“平行公理”或“欧几里得公理”，因为它反映了欧氏几何的本质特征．
长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
罗巴切夫斯基是从1815—1816年着手研究第五公设问题的．到1826年2月23日于喀山大学物理数学系学术会议上首次宣读自己新几何学的论文——《简要叙述平行线公理的一个严格证明》，前后经过了十年艰苦的努力．开始，他像其他所有研究者一样，也试图给出第五公设的证明，但不久就意识到这是徒劳的，对于第五公设，“至今没能找到它的严格证明，以往给出的任何一种证明，只能是一种说明，而不配称做是真正意义下的数学证明”。
通过错误与失败的精心研究。罗巴切夫斯基大胆地提出原问题的“反问题”，即第五公设在数学上是不可证明的．用他自己的话说就是：“我推断，不依赖于经验，去寻求这个真实性的证明是徒劳的”．因为“这个真实性还没有包含在我们对现实事物的概念自身中”．那么，罗巴切夫斯基是怎样成功地解决这个反问题的?又是怎样从中发现非欧几何新天地的?原来，他运用了反证法这一间接证明方法．
罗巴切夫斯基的基本思想是，为证“第五公设不可证”，首先用第五公设的相反命题代替它，和其他公设构成一个新的公理系统，然后，对这个新公理系统展开逻辑推演．假设第五公设在数学上可证，那么一定能够推演出逻辑矛盾来，至少第五公设和它的相反命题就是一对逻辑矛盾；反之，如果推演不出逻辑矛盾，就自然反驳了“第五公设可证”的假设，从而也就间接证得“第五公设不可证”．
基于这种思想，罗巴切夫斯基从第五公设的等价命题普雷菲尔公理的否定；“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”．之后，他从这个相反命题，及欧几里得的其他公设出发而进行逻辑推演，推出一个新的演绎几何体系——非欧几何 ( 双曲型几何 ) ．在这个新几何中，与平行公理无关的命题与欧氏几何一致；与平行公理有关的定理则被新的定理代替，其中有一些新定理与人们的直接经验相矛盾．诸如：“三角形三内角之
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和小于 180 °”，“两三角形若三组对应角分别相等，则必全等”等。尽管如此，经过仔细推敲，罗巴切夫斯基并没有发现它们之间含有任何逻辑矛盾。罗氏几何在逻辑上是站得住脚的。于是，远见卓识的罗巴切夫斯基断言，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统属于一种新几何，它的逻辑完整性和严密性可以和欧氏几何相媲美．而这个新几何的存在，就是对“第五公设不可证”的间接证明．
最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论： 第一，第五公设不能被证明。 第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。从罗氏几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
紧接着黎曼（Riemann） 又提出另一种类型的非欧几何 ( 椭圆型几何 ) 它用以下新公理来代替平行公理：任何两条直线均相交 ( 即不存在平行线 ) 。黎曼几何的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
坚持第五公设，引出欧几里德几何。
以“可以引无数条平行线”为新公设，引出罗氏几何（或称双曲几何）。
双曲抛物面上的三角形
对于罗巴切夫斯基几何，不少数学家给出过多种不同的模型。第一个模型是由法国数学家庞斯莱（Poncelet, 1788—1867）给出的。他把圆心位于一条给定直线S上的半圆看作“直线”。显然，过两点可以唯一确定一条“直线”，过“直线”外一点可以作多条“直线”与之平行（不相交）。如图：
在欧氏平面上做一条直线x，以x为边缘的上半平面（不包含x 上的点）记为λ，现在考虑λ内部的点，我们规定λ内部的点为“非欧点”，圆心在x上的半圆或垂直于x的射线称为“非欧直线”。那么，在λ内、圆心在x上的一段圆弧，或垂直于x的射线上的一条线段是“非欧线段”，两条“非欧直线”的夹角是“非欧角”。这样，在λ内部建立了一个非欧几何的模型，在此模型内满足：过直线外一点，不只一条直线与该直线不相交。设ｌ为λ内
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垂直于x的射线，或者圆心在x上的半圆，点A为 了ｌ外的一点，则过点A必可作两个半圆（或一射线、一半圆），其圆心在x上，且与 ｌ 相切（显然，切点在x上，而x上的点都不在λ内），那么经过点A就有两条“非欧直线”与ｌ都不相交，所以在内非欧平行公理是成立的。当然，在这我们还需要说明两段“非欧线段”相等（或说合同）的概念、两个“非欧角”相等的概念等，这就要涉及其他的数学知识。这里就不再介绍了。
以“一条平行线也不能引”为新公设，引出黎曼几何（或称椭圆几何）。
椭圆面上的三角形
在球面上，点的观念和定义依旧不变，但“直线”是两点之间最短的距离，称为最短线。在球面上，最短线是大圆的弧，所以平面几何中的线在球面几何中被大圆所取代。同样的，在球面几何中的角被定义在两个大圆之间。结果是球面三角学和平常的三角学有诸多不同之处。例如：球面三角形的内角和大于180°。
对比于通过一个点至少有两条平行线，甚致无穷多条平行线的双曲面几何学，通过特定的点没有平行线的球面几何学是椭圆几何学中最简单的模式。
注意，非欧几何中的直线是延续数学家的说法，从现代数学观念看，此（欧氏几何中的）直线非彼（非欧几何中的）直线，含义有演变了。直线在不同的几何学体系中有着不同的描述。
这三种几何学，都是常曲率空间中的几何学，分别对应曲率为0、负常数和正常数的情况。
三种几何学的适用范围与模型 三种几何学有着相互矛盾的结论，但真理只有一个，为什么会出现三种矛盾的真理呢？原来，客观事物是复杂多样的，在不同的客观条件下，会有不同的客观规律。
例如：在日常小范围内，房屋建设，城市规划等，欧氏几何学是适用的。但是，如果要作远距离的旅行，例如从深圳到北京，在地球上深圳到北京的最短路线已经不再是直线，而是一条圆弧，地球上的球面三角学就是黎曼几何学了，其三角形内角和是大于180度的。如果把目光放的再远些，在太空中漫游时，罗巴切夫斯基几何学就大显身手了。在科学研究中，各种几何有着其不可替代的地位。欧氏几何学的重要性自不待言；20世纪初，爱因斯坦在研究广义相对论时，他意识到必须用一种非欧几何来描述这样的物理空间，这种非欧几何就是黎曼几何的一种；1947年，人们对对视空间（从正常的有双目视觉的人心理上观察到的空间）所做的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基几何来描述。
三种几何学各有其适用范围，也各有其模型。欧几里得几何学的模型最容易理解，我们
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