课时跟踪检测（十三） 数列求和
层级一 学业水平达标
1．已知an＝(－1)，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是( ) A．1,1 C．1,0
B．－1，－1 D．－1,0
n解析：选D S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，
S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.
2．数列{an}的通项公式是an＝A．11 C．120
解析：选C ∵an＝
1
1
n＋n＋1
，若前n项和为10，则项数为( )
B．99 D．121
n＋n＋1
＝n＋1－n，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n) ＝n＋1－1，
令n＋1－1＝10，得n＝120.
12
3．等差数列{an}中，a1＝1，an，an＋1是方程x－(2n＋1)x＋＝0的两个根，则数列{bn}
bn前n项和Sn＝( )
A.C.
11
B. 2n＋1n＋1
nn D. 2n＋1n＋1
bn12
解析：选D 因为an，an＋1是方程x－(2n＋1)x＋＝0的两个根，所以an＋an＋1＝2n＋1，又因为数列{an}为等差数列，所以an＋an＋1＝a1＋a2n＝1＋a2n＝2n＋1，所以a2n＝2n，所以an＝
n.anan＋1＝n(n＋1)＝，所以bn＝＝－，所以数列{bn}前n项和Sn＝1－＋－
bnn?n＋1?nn＋1223
111n＋…＋－＝1－＝.
nn＋1n＋1n＋1
4．在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)
n－1
1111111
(4n－3)，则S15＋S22－
S31的值( )
A．13 C．46
B．－76 D．76
解析：选B ∵S15＝(－4)×7＋(－1)(4×15－3)＝29.
14
S22＝(－4)×11＝－44.
S31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61.
∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
5．数列1,1＋2,1＋2＋2，…，1＋2＋2＋…＋2A．2－101 C．2－99
2
100100
99
2
2
n－1
，…的前99项和为( )
B．2－101 D．2－99
n－199
解析：选A 由数列可知an＝1＋2＋2＋…＋2
2
99
2
1－2n＝＝2－1，所以，前99项的和为1－2
99
n2?1－2?100
S99＝(2－1)＋(2－1)＋…＋(2－1)＝2＋2＋…＋2－99＝－99＝2－101.
1－2
99
6．已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1＝1,3a3＝2a2＋a4，则数列?________．
?
?的前4项和为?anan＋1?
1?
解析：∵等比数列{an}中，a1＝1,3a3＝2a2＋a4，∴3q＝2q＋q.又∵q≠1，∴q＝2，∴an＝2
n－1
23
，∴
?1?11?1?2n－1
?是首项为，公比为的等比数列， ＝??，即?
anan＋1?2?24?anan＋1?
1
1??1?4?
?1－????1?2??4??85
?的前4项和为∴数列?＝.
1128?anan＋1?
1－485
答案：
128
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________. 解析：＝3，故q≠1，
S6S3S9S6
S6S3
a1?1－q6?1－q3∴×3＝1＋q＝3，
1－qa1?1－q?
即q＝2.
3S9a1?1－q9?1－q1－27所以＝×＝＝.
S61－qa1?1－q6?1－223
3
7答案： 3
8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：∵an＋1－an＝2，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
nn＝2
n－1
＋2
n－2
2－2nn＋…＋2＋2＋2＝＋2＝2－2＋2＝2.
1－2
2
n2－2n＋1
∴Sn＝＝2－2.
1－2答案：2
n＋1
n＋1
－2
2
9．已知{an}是递增的等差数列，a1＝2，a2＝a4＋8. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设数列{an}的公差为d，d>0.由题意得(2＋d)＝2＋3d＋8，解得d＝2. 故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n. (2)∵bn＝an＋2an＝2n＋2， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(2＋2)＋(4＋2)＋…＋(2n＋2) ＝(2＋4＋…＋2n)＋(2＋2＋…＋2) ?2＋2n?·n4·?1－4?＝＋ 21－44
＝n(n＋1)＋
n＋1
n2
4
2n2
4
2n2n2
－4. 3
10．在等差数列{an}中，a3＝4，a7＝8. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝
an2
n－1
，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)因为d＝
a7－a3
7－3
＝1，所以an＝a3＋(n－3)d＝n＋1.
ann＋1
(2)bn＝n－1＝n－1，
22
34n＋1
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2＋＋2＋…＋n－1.①
22
2
123nn＋1
Tn＝＋2＋…＋n－1＋n，② 22222
1111n＋1由①－②得Tn＝2＋＋2＋…＋n－1－n 222221?n＋1?11
＝?1＋＋2＋…＋n－1?＋1－n
2?2?221
1－n21?n＋1?n＋1＝＋1－n＝2?1－n?＋1－n
122?2?1－2