题型突破练——压轴题专练
压轴题专练(一) 建议用时：40分钟
1．[2015·辽宁三校联考(二)]设F是抛物线C∶y＝4x的焦点，P是C上一点，斜率为2
－1的直线l交C于不同两点A，B(l不过P点)，且△PAB重心的纵坐标为－.
3
(1)记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值； 11
(2)求＋的最大值．
|FA||FB|
解 (1)设直线l的方程为：y＝－x＋b，将它代入C∶y＝4x得：x－2(b＋2)x＋b＝0，当Δ＝16(b＋1)＞0时，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2(b＋2)，x1x2＝b，y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2b＝－2(b＋2)＋2b＝－4，
2
因为△PAB重心的纵坐标为－.所以y1＋y2＋yp＝－2，所以，yp＝2，xp＝1.
3
2
2
2
2
2
y1－2y2－2y1－2
k1＋k2＝＋＝
x1－1x2－1
－2)(x1－1)
x2－1＋y2－2x1－1x2－1
x1－1
，(y1－2)(x2－1)＋(y2
＝ [－x1＋(b－2)](x2－1)＋[－x2＋(b－2)](x1－1) ＝－2x1x2＋(b－1)(x1＋x2)－2(b－2) ＝－2b＋2(b－1)(b＋2)－2(b－2) ＝0，所以k1＋k2＝0.
1111x1＋x2＋22b＋3
(2)＋＝＋＝＝2， |FA||FB|x1＋1x2＋1x1x2＋x1＋x2＋1b＋2b＋5由Δ＝16(b＋1)＞0得b＞－1，又l不过P点，则b≠3. 令t＝b＋3，则t＞2且t≠6. 1＋＝|FA||FB|t－3＝
2t＝t2－4t＋8?1
22
2t
＋2t－3＋5
28
＝2＋1
， 2
2
≤8??t＋?－42
?t?
t·－4t8112＋1当t＝，即t＝22，b＝22－3时，＋的最大值为. t|FA||FB|2
112．[2015·德阳二诊]已知函数f(x)＝xln x－x＋x2－ax3，f′(x)为函数f(x)的导函
23数．
(1)若F(x)＝f(x)＋b，函数F(x)在x＝1处的切线方程为2x＋y－1＝0，求a、b的值； (2)若f′(x)≤－x＋ax恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若曲线y＝f(x)上存在两条倾斜角为锐角且互相平行的切线，求实数a的取值范围． 1213
解 (1)F(x)＝xln x－x＋x－ax＋b，
23
F′(x)＝ln x＋x－ax2，
∵切点为(1，－1)，切线斜率为k＝－2，
?F1＝－1?∴???F′1＝－2
11??－a＋b＝－
2??3
??1－a＝－2
a＝3??
??1
b＝??2
，
1
故a＝3，b＝.
2
(2)f′(x)＝ln x＋x－ax，
2
f′(x)≤－x＋ax恒成立?当x＞0时，a≥
ln x＋2x恒成立．
x2＋xln x＋2x令G(x)＝2(x＞0)，则a≥G(x)max，
x＋xG′(x)＝
＝－
?1＋2?x2＋x－ln x＋2x?x???
x2＋xx－1＋ln x，
x＋x2
2
2
2x＋1
2x＋1
令g(x)＝x－1＋ln x(x＞0)，g(x)在(0，＋∞)递增，且g(1)＝0， ∴当x∈(0,1)时，x－1＋ln x＜0，G′(x)＞0， 当x∈(1，＋∞)时，x－1＋ln x＞0，G′(x)＜0， ∴G(x)在(0,1)递增，在(1，＋∞)递减， ∴x＝1时，G(x)max＝1， ∴a≥1.
(3)f′(x)＝ln x＋x－ax，令g(x)＝f′(x)＝ln x＋x－ax(x＞0)， 1－2ax＋x＋1
g′(x)＝＋1－2ax＝.
22
2
xx令h(x)＝－2ax＋x＋1(x＞0)， 当a≤0时，h(x)＞0，
∴g′(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)递增，不适合．
1当a＞0时，h(x)的Δ＝1＋8a＞0，设方程h(x)＝0的二根为x1、x2，则x1·x2＝－＜
2a0，不妨设x1＜0＜x2，
∴当x∈(0，x2)时，g′(x)＞0， 当x∈(x2，＋∞)时，g′(x)＜0， ∴g(x)在(0，x2)递增，在(x2，＋∞)递减，
?－2ax2＋x2＋1＝0?∴???gx2＞0
2
2
?－2ax2＋x2＋1＝0?
??2
??ln x2＋x2－ax2＞0
2
①②
由①得：ax2＝
2
x2＋1
2
代入②整理得：
2ln x2＋x2－1＞0③
∵函数u(x)＝2ln x＋x－1在(0，＋∞)递增，u(1)＝0， ∴由③得：x2＞1， 由①得：2a＝
x2＋1?11?21
＝?＋?－， x22?x22?4
1
∵0＜＜1，∴0＜2a＜2，
x2
∴0＜a＜1. 3．选做题
(1)[选修4－1：几何证明选讲]如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：
①BE＝EC； ②AD·DE＝2PB.
(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
??x＝2cosα?
?y＝2＋2sinα?
2
→→
(α为参数)，M为C1上的动点，P点满足OP＝2OM，点P的轨迹为曲线C2.
①求C2的参数方程；
π
②在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的
3交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
(3) [选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－m|＋|x＋6|(m∈R)． ①当m＝5时，求不等式f(x)≤12的解集；
②若不等式f(x)≥7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．
解 (1)证明：①∵PC＝2PA，PD＝DC，∴PA＝PD，△PAD为等腰三角形． 连接AB，则∠PAB＝∠DEB＝β，∠BCE＝∠BAE＝α，
∵∠PAB＋∠BCE＝∠PAB＋∠BAD＝∠PAD＝∠PDA＝∠DEB＋∠DBE， ∴β＋α＝β＋∠DBE，即α＝∠DBE，即∠BCE＝∠DBE，所以BE＝EC. ②∵AD·DE＝BD·DC，PA＝PB·PC，PD＝DC＝PA，
2
BD·DC＝(PA－PB)PA＝PB·PC－PB·PA＝PB·(PC－PA)， PB·PA＝PB·2PB＝2PB2.