2.2.2 反证法
A级 基础巩固
一、选择题
1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：“方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x＋ax＋b＝0没有实根．” 答案：A
2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．
则正确的顺序为( ) A．①②③ C．①③②
B．③①② D．②③①
2
2
2222
2
解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②. 答案：B
3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( ) A．一定是异面直线 C．不可能是平行直线 解析：假设c∥b， 由a∥c，从而得a∥b， 这与a与b是异面直线矛盾， 故直线c与b不可能是平行直线． 答案：C
4．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( ) A．a，b，c都是奇数
B．一定是相交直线 D．不可能是相交直线
- 1 -
B．a，b，c都是偶数 C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数
解析：自然数a，b，c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设，应选D.
答案：D
5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于( ) A．0 1C. 2
1B. 3D．1
1
解析：假设a，b，c都小于，则a＋b＋c<1，与a＋b＋c＝1矛盾，选项B正确．
3答案：B 二、填空题
6．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b?α，直线c?β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．
解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交， ∴应假设b与c平行或相交． 答案：b与c平行或相交
7．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．
解析：由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数， 故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数． 答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
8．用反证法证明命题“若a＋b＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其假设为________． 解析：“a、b全为0”即是“a＝0且b＝0”， 因此用反证法证明时的假设为“a，b不全为0”． 答案：a，b不全为0 三、解答题
9．设x，y都是正数，且x＋y>2，试用反证法证明：
1＋x1＋y<2和<2中至少有一个成立．
2
2
yx - 2 -
1＋x1＋y1＋x1＋y证明：假设<2和<2都不成立，即≥2，≥2.
yxyx又因为x，y都是正数， 所以1＋x≥2y，1＋y≥2x.
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，则x＋y≤2， 这与题设x＋y>2矛盾， 所以假设不成立． 故
1＋x1＋yy<2和x<2中至少有一个成立．
10．设等比数列{an}的公比为q，Sn为它的前n项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)当q≠1时，数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 证明：(1)假设{Sn}是等比数列， 则S2
2＝S1·S3，
所以a2
2
2
1(1＋q)＝a1·a1(1＋q＋q)． 因为a2
2
1≠0，所以(1＋q)＝1＋q＋q， 所以q＝0，这与等比数列的公比q≠0矛盾． 故数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q≠1时，假设{Sn}是等差数列，
则有2S2
2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q)． 因为a1≠0，所以q(q－1)＝0. 又q≠1，所以q＝0. 这与q≠0矛盾． 故{Sn}不是等差数列．
B级 能力提升
1．设a，b，c大于0，则3个数：a＋111
b，b＋c，c＋a的值( A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2
D．至少有一个不小于2
解析：假设a＋111
b，b＋c，c＋a都小于2
则a＋1b<2，b＋1<2，c＋1ca<2 ∴a＋111
b＋b＋c＋c＋a<6，①
又a，b，c大于0
)
- 3 -
111
所以a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2.
abc111
∴a＋＋b＋＋c＋≥6.②
bca故①与②式矛盾，假设不成立
111
所以a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.
bca答案：D
2．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函数
f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是( )
?13?A.?－，? ?22?
C．(－1，1)
解析：假设函数f(x)存在好点， 则x＋2ax＋1＝x有实数解， 即x＋(2a－1)x＋1＝0有实数解．
22
?31?B.?－，? ?22?
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
132
所以Δ＝(2a－1)－4≥0，解得a≤－或a≥.
22
?13?所以f(x)不存在好点时，a的取值范围是?－，?. ?22?
答案：A
3．已知直线ax－y＝1与曲线x－2y＝1相交于P，Q两点，是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解：不存在．理由如下：假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O，则OP⊥OQ. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 由?
?ax－y＝1，?
2
2
2
2
消去y，整理得(1－2a)x＋4ax－3＝0. ??x－2y＝1，
22
－4a－3所以x1＋x2＝2，x1x2＝2. 1－2a1－2a因为x1x2＋y1y2＝0，所以x1x2＋(ax1－1)(ax2－1)＝0， 所以(1＋a)x1x2－a(x1＋x2)＋1＝0， －3－4a2
则(1＋a)·2－a·2＋1＝0，
1－2a1－2a所以a＝－2，这是不可能的． 故不存在满足题设条件的实数a.
2
2
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