统计学复习笔记
第七章 参数估计 一、 思考题
1． 解释估计量和估计值
在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。
根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。
2． 简述评价估计量好坏的标准
（1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 （2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。
（3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。
3． 怎样理解置信区间
在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。
4． 解释95%的置信区间的含义是什么
置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。
不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。
5． 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。
1. 估计总体均值时样本量n为
2222(z?)??22n?2E2其中：
E?z?2?n
2. 样本量n与置信水平1-α、总体方差、估计误差E之间的关系为
? 与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需要的样本量越大；
? 与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大； ? 与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。
二、 练习题
1． 从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。
x等于多少？ 1) 样本均值的抽样标准差?x2) 在95%的置信水平下，估计误差是多少？ 解： 1） 已知σ = 5，n = 40， x = 25 ∵
??x?xnn?xx = 5 ／√40 ≈ 0.79 ∴ ? 2） 已知
?22 ∵ E?z??n
∴ 估计误差 E = 1.96×5÷√40 ≈ 1.55
2． 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。
1) 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。 2) 在95%的置信水平下，求估计误差。
3) 如果样本均值为120元，求总体均值μ的95%的置信区间。 解：1）已知σ = 15，n = 49 ∵
??x?xnn??x?xnn?xx = 15÷√49 = 2.14 ∴ ? 2）已知
E?z??22 ∵
?n
∴ 估计误差 E = 1.96×15÷√49 ≈ 4.2 3）已知 x = 120
x±E ∵ 置信区间为 ∴ 其置信区间 = 120±4.2
x=104560，3． 从一个总体中随机抽取n =100的随机样本，得到 假定总体标准差σ = 85414，试构建总体均值μ的95%的置信区间。
x解： 已知n =100， =104560，σ = 85414，1-?＝95% ，
由于是正态总体，且总体标准差已知。总体均值?在1-?置信水平下的置信区间为
10 n 104560 ± 1.9625×85414÷√100
?105.36?3.92 = 104560 ± ???101.44,109.2816741.144
x?z??22?105.36?1.96??4． 从总体中抽取一个n =100的简单随机样本，得到x =81，s=12。要求：
1） 构建μ的90%的置信区间。 2） 构建μ的95%的置信区间。 3） 构建μ的99%的置信区间。
解：由于是正态总体，但总体标准差未知。总体均值?在1-?置信水平下的置信区间公式为
81±
1）1-?＝90%，
×12÷√100 = 81±1.65
×1.2
其置信区间为 81 ± 1.98