第十章部分课后习题参考答案
4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合Z和普通的减法运算。
封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合
普通的除法运算。不封闭
（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。
（3） 全体n?n实矩阵集合
封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元；
乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；
（4）全体n?n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n2。不封闭 （5）正实数集合
和运算，其中运算定义为：
不封闭 因为 1?1?1?1?1?1??1?R? （6）n关于普通的加法和乘法运算。
封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元；
乘法无单位元（n?1），零元是0；n?1单位元是1 （7）A = {a1,a2,?,an} n
运算定义如下：
封闭 不满足交换律，满足结合律， （8）S =
关于普通的加法和乘法运算。
封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）S =
,S关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律
5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题
1
7．设 * 为Z?上的二元运算?x,y?Z?，
X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数.
(1)求4 * 6，7 * 3。 4, 3
(2)* 在Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？ 满足交换律，结合律，和幂等律
(3)求*运算的单位元，零元及Z?中所有可逆元素的逆元。 单位元无，零元1, 所有元素无逆元
8．S?Q?Q Q为有理数集，*为S上的二元运算，
< a，b >*
（1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？ 不可交换：
可结合：(
（2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。 设
设
所以当x?0时，?x,y??1?1y,? xx?
10．令S={a，b}，S上有四个运算：*，
分别有表10.8确定。
2
(a) (b) (c) (d)
(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？ (a) 交换律，结合律，幂等律都满足， 零元为a,没有单位元； (b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元
a?1?a,b?1?b
(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律 a?(b?b)?a?a?b, a?(b?b)?(a?b)?b 没有单位元, 没有零元
(d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元
(2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。 见上
(a?b)?b?a?b?a
16．设V=〈 N，+ ，〉，其中+ ，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？
（1）S1=（2）S2=
是
不是 加法不封闭
（3）S3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭
第十一章部分课后习题参考答案
8.设S={0，1，2，3}，
为模4乘法，即
y=(xy)mod 4
\?x,y∈S, x
问〈S，
〉是否构成群？为什么？
y=(xy)mod 4?S,
是S上的代数运算。
解：(1) ?x,y∈S, x
(2) ?x,y,z∈S,设xy=4k+r 0?r?3
(x
y)z =((xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4
3