大学物理（2）48学时（09级新）
第九章 静电场（是保守力场）
重点：求电场强度和电势。（点电荷系、均匀带点体、对称性电场），静电场的高斯定理和安培环路定理。 主要公式： 一、 电场强度
?1．点电荷场强：E?q4??0r2?er 2．点电荷系场强：E?E1?E2?????En（矢量和）
??????3．连续带电体场强：E??dE??dq?e 2r4??0r?（五步走积分法）(建立坐标系、取电荷元、写dE、分解、积分)
4．对称性带电体场强：（用高斯定理求解）?e?E?dS?s????q ?0二、电势
1．点电荷电势：V?q4??0r 2．点电荷系电势：V?V1?V2?????Vn（代数和） 3．连续带电体电势：V?dV???4??r0dq （四步走积分法）(建立坐标系、取电荷元、写dV、积分)
??v04．已知场强分布求电势：V??E?dl??E?dr
lp三、电势差：
?UAB??BA??E?dl
l2四、电场力做功：
A?q0?U?q0?l1??E?dl
五、基本定理
(1) 静电场高斯定理：
1
??表达式：?e??E?dS?s?q ?0物理意义：表明静电场中，通过任意闭合曲面的电通量（电场强度沿任意闭合曲面的面积分），等于该曲面内包围的电荷代数和除以?0。 (3)静电场安培环路定理：
??表达式：?E?dl?0 l物理意义：表明静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分为0。
【例题1】 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?,求环心处O点的场强和电势． 解:（1）求场强。 建立如图坐标系；
在圆上取电荷元dq??dl?R?d?，dl?Rd?； 它在O点产生场强大小为：dE??Rd?方向沿半径向外。
4π?0R2分解： dEx?dEsin???sin?d?
4π?0RdEy相互抵消。
积分EO???0??,沿X轴正方向。 sin?d??4π?0R2π?0R? 注意此题中若?角度选取不同，积分上下限也会随之不同，但结果一样。
（2）求电势。 建立如图坐标系；
在圆上取电荷元dq??dl?R?d?，dl?Rd?； 它在O点产生电势大小为：dV??Rd?
4π?0R?积分VO?4π?0??0d??? 4?0
【例题2】 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?
2
??q 解: (1)由高斯定理?E?dS?
s?0立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等。 ∴ 各面电通量?e?q． 6?0(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则边长2a的正方形上电通量?e?q 6?0q， 24?0对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则?e?如果它包含q所在顶点则?e?0．
【例题3】 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×10C·m求距球心5cm，
-3
?58cm ,12cm 各点的场强．
???q解: 高斯定理?E?dS?,E4πr2?s?0?q
?0?当r?5cm时，?q?0,E?0 r?8cm时，?q?p4π33(r ?r内) 3?∴ E?4π32r?r内3?3.48?104N?C?1， 方向沿半径向外． 24π?0r??r?12cm时,?q??4π33 (r外?r内）3?∴ E?4π33r外?r内3?4.10?104 N?C?1 沿半径向外. 24π?0r??【例题4 】半径为R1和R2(R2 ＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量?和-?,试求:(1)r＜R1；(2) R1＜r＜R2；(3) r＞R2处各点的场强． 解: 高斯定理E?dS?s????q
?03
取同轴圆柱形高斯面，侧面积S?2πrl
??则 ?E?dS?E2πrl
S对(1) r?R1
?q?0,E?0
?q?l?
(2) R1?r?R2 ∴ E?? 沿径向向外
2π?0r(3) r?R2
?q?0
∴ E?0
【例题5】 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为?1和?2，试求空间
解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为?1与?2， 两面间， E??1?(?1??2)n 2?0?1?(?1??2)n ?1面外， E??2?0?2面外， E??1?(?1??2)n 2?0?n：垂直于两平面由?1面指为?2面．
【例题6】 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为?,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如图所示．试求：两球心O与O?点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．（补偿法）
解: 此题用补偿法的思路求解，将此带电体看作带正电?的均匀球与带电??的均匀小球的组合，见图(a)．由高斯定理可求得球对称性电场的场强分布。
4
?(1) ??球在O点产生电场E10?0，
??? 球在O点产生电场E2043πr??3OO' 34π?0d?r3?∴ O点电场E0?OO'；
3?0d3?43?d?3?OO' 34π?0d(2) ??在O?产生电场E10?????球在O产生电场E20??0
???∴ O 点电场 E0??OO'
3?0
?? (3)设空腔任一点P相对O?的位矢为r?，相对O点位矢为r (如 (b)图)
???r则 EPO?，
3?0???r?, EPO???3?0?????????d∴ EP?EPO?EPO?? (r?r?)?OO'?3?03?03?0∴腔内场强是均匀的．
【例题7 】 两点电荷q1=1.5×10C，q2=3.0×10C，相距r1=42cm，要把它们之间的距
-8
-8
离变为r2=25cm，需作多少功? 解: A??r2r1??r2qqdrqq11F?dr??122?12(?)
r24π?0r4π?0r1r2??6.55?10?6J
外力需作的功 A???A??6.55?10 J
?6 5