第九节 离散型随机变量的均值与方差
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题．
(对应学生用书第189页)
[基础知识填充]
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)． (1)均值
EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr，均值EX刻画的是X取值的“中心位置”．
(2)方差
DX＝E(X－EX)2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aEX＋B．
(2)D(aX＋b)＝aDX(a，b为常数)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
2
变量X服从两点分布 均值 方差 EX＝p EX＝np DX＝p(1－p) DX＝np(1－p) X～B(n，p) [知识拓展] EX反映了x取值的平均水平，DX反映了X针对EX的稳定与波动，集中与离散的程度．
区分x、s、μ、σ、EX、DX.
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( )
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ( )
(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．(教材改编)已知X的分布列为
2
2
X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则EY的值为( ) 7
A． 3C．－1
B．4 D．1 1 211 361111
A [EX＝－1×＋0×＋1×＝－，
236327
则EY＝2EX＋3＝3－＝.] 33
1
3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，则Dξ等于( )
5
A．8 C．10
B．5 D．12
1
A [∵Eξ＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
5122222
∴Dξ＝[(－4)＋(－2)＋0＋2＋4]＝8.]
5
4．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX＝________.
1.96 [由题意得X～B(100,0.02)， 所以DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.]
5．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若EX＝30，DX＝20，则p＝________.
1
[由于X～B(n，p)，且EX＝30，DX＝20， 3
??np＝30，所以?
?np(1－p)＝20，?
1
解得p＝.]
3
(对应学生用书第190页)
离散型随机变量的均值、方差 (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根
据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 天数 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
[解] (1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X＝200)＝2＋1636
＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4， 9090
P(X＝500)＝25＋7＋4
＝0.4. 90
因此X的分布列为
X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，因此只需考虑200≤n≤500. 当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此EY＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n. 当200≤n<300时，
若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n， 因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n. 所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元． [规律方法] 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 理解X的意义，写出X可能取的全部值. 求X取每个值时的概率.