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【知识梳理】
1．数列的前n项和
对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．等差数列的前n项和公式
已知量 选用 公式 【常考题型】 题型一、等差数列前n项和的有关计算
1
【例1】 (1)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则a2＝__________；
2Sn＝________.
(2)在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
1
(1)[解析] 设公差为d，则由S2＝a3得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝，故a2＝a1＋d＝1，Sn
2n?n－1?n?n＋1?
＝na1＋d＝.
24
[答案] 1
n?n＋1?
4
首项，末项与项数 n?a1＋an?Sn＝ 2首项，公差与项数 n?n－1?Sn＝na1＋d 2a＝a＋?n－1?d，??n1
(2)[解] 由? n?n－1?
S＝na＋d，n1?2?a＋2?n－1?＝11，??1
得? n?n－1?
na＋×2＝35，?2?1
???n＝5，?n＝7，解方程组，得?或?
?a1＝3???a1＝－1.
【类题通法】
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
【对点训练】
1．已知等差数列{an}．
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(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求n和d；
62(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
531解：∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－. 626n?n－1?
又Sn＝na1＋·d＝－5，
2解得n＝15，n＝－4(舍)．
8?a1＋a8?8?4＋a8?
(2)由已知，得S8＝＝＝172，
22解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
题型二、已知Sn求通项公式an
【例2】 已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？ [解] (1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，
∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2 ＝－2n2＋5n－1， ∴an＝Sn－Sn－1
＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1) ＝－4n＋3.
又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3， ∴数列{an}的通项公式是
??1，n＝1，
an＝?
?－4n＋3，n≥2.?
(2)由(1)知，当n≥2时，
an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4， 但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，
∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列． 【类题通法】
已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；
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如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为
??S1，n＝1，an＝?(如本例)．
?Sn－Sn－1，n≥2?
【对点训练】
2．已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n－2.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1； 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5， 则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5) ＝2n2－3n－2n2＋7n－5 ＝4n－5.
此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1， 故an＝4n－5.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1； 当n≥2时，Sn－1＝3n1－2，
则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n1－2)＝3n－3n1 ＝3·3n1－3n1＝2·3n1.
此时若n＝1，an＝2·3n1＝2·311＝2≠a1，
??1， n＝1，故an＝?n－1
?2·3，n≥2.?
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题型三、等差数列前n项和的性质
【例3】 (1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝( ) A．58 C．143
B．88 D．176
(2)等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.
(1)[解析] 利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{an}是等差数列，所以a1＋a11＝a4＋a8
11?a1＋a11?
＝2a6＝16?a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝＝11a6＝88.
2
[答案] B
(2)[解] ∵数列{an}为等差数列，
∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100也成等差数列．
设其公差为D，则S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100－S90)＝S100， 10×9
即10S10＋×D＝S100＝10.
2
又∵S10＝100，代入上式，得D＝－22，
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∴S110－S100＝S10＋(11－1)×D＝100＋10×(－22)＝－120， ∴S110＝－120＋S100＝－110. 【类题通法】
等差数列的前n项和常用的性质
(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列． Sn
(2)数列{an}是等差数列?Sn＝an2＋bn(a，b为常数)?数列{}为等差数列．
n(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， S奇an
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；
S偶an＋1S奇n
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. S偶n－1【对点训练】
3．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则S13＝________. 解析：因为a1＋a13＝a2＋a12＝2a7， 又a2＋a7＋a12＝24， 所以a7＝8.
13?a1＋a13?
所以S13＝＝13×8＝104.
2答案：104
(2)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为( ) A．9 C．16
B.12 D．17
解析：选A 由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是可求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.
题型四、等差数列前n项和的最值
【例4】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值． [解] 法一：由S17＝S9，得
17×?17－1?9×?9－1?
25×17＋d＝25×9＋d，
22解得d＝－2，
n?n－1?
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－(n－13)2＋169.
2由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169. 法二：先求出d＝－2(同法一)，
??an＝25－2?n－1?≥0
∵a1＝25＞0，由?，
?an＋1＝25－2n＜0?.