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5．3 复数的四则运算
一、基础达标
1．复数z－12i，z1
1＝22＝2
－2i，则z1＋z2等于
A．0 B.352＋2i C.52－5
2i D.52－32
i 答案 C
解析 z1＋z2＝??1?2＋2???－??1?2＋2???i＝52－5
2
i.
2．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于
A．1＋i B．1＋3i C．－1－i D．－1－3i 答案 B
解析 z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1
答案 D
解析 ∵(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，∴???
b＝－1
??
a＝1
.
4．在复平面内，复数i2
1＋i
＋(1＋3i)对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 B 解析
i1＋i＋(1＋3i)2
＝12＋12
i＋(－2＋23i)＝ －32＋???23＋12???i，对应点??3
1?－2
，23＋2???在第二象限．
5．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．小初高K12教育学习资料
( )
( )
( )
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答案 1
－3＋2i
解析 由i(z＋1)＝－3＋2i得到z＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i.
i2i
6．复数的虚部是________．
－1＋3i
1
答案 － 2解析 原式＝
－1－31＋3
＝
23－2i311
＝－i，∴虚部为－. 4222
2＋2i?2?2 010
7．计算：?. 2＋?－?1＋i?解
2＋2i?2?2 0102＋2i?2?1 005
?＝－2i＋?2i? 2＋?－???1＋i?
1 0051?1 005?＝i(1＋i)＋??＝－1＋i＋(－i)
?i?
＝－1＋i－i＝－1. 二、能力提升
8．(2013·新课标)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝
( )
A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i 答案 A
2i
解析 因为复数z满足z(1－i)＝2i，所以z＝＝
1－i9．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为
( )
A．3＋5i C．－3＋5i 答案 A
11＋7i
解析 z＝＝2－i
＋－
＋＋
＝15＋25i
＝3＋5i. 5
B．3－5i D．－3－5i
＋－
＋
＝－1＋i.
z＋2
10．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于________．
1－i
答案 －2i
z＋2bi＋2bi＋
解析 设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝1－i1－i－＋
＋2－b＋b＋＝
2
2－bb＋2＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.
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11．(2013·山东聊城期中)已知复数z＝∈R)，求a＋b的值． 解 由z＝＋
＋2＋i
2
＋
＋2＋i
2
－
，若z＋az＋b＝1＋i(a，b2
－
，
2i＋3－3i3－i得z＝＝＝1－i，
2＋i2＋i
又z＋az＋b＝1＋i，∴(1－i)＋a(1－i)＋b＝1＋i， ∴(a＋b)＋(－2－a)i＝1＋i，∴a＋b＝1.
5
12．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚
2
2
z数z，若不存在，请说明理由．
解 设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)．
z＋＝x＋yi＋ zx＋yi
＝x＋
5x5y＋(y－)i， x2＋y2x2＋y2
55
5y??y－22＝0，由已知得?x＋y??x＋3＝－y，
?x＋y＝5，?
∵y≠0，∴?
??x＋y＝－3，
2
2
解得?
?x＝－1?
??y＝－2
或?
?x＝－2?
??y＝－1
.
∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足以上条件． 三、探究与创新
13．已知1＋i是方程x＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试说明1－i也是方程的根吗？
解 (1)因为1＋i是方程x＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)＋b(1＋i)＋c＝0，
??b＋c＝0
即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴?
?2＋b＝0?
2
2
2
??b＝－2
，得?
?c＝2?
.
∴b、c的值为b＝－2，c＝2. (2)方程为x－2x＋2＝0.
把1－i代入方程左边得(1－i)－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，
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