.
三角函数的易错点以及典型例题与真题
1.三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________ 万能公式 ______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次。
万能公式：
(1) (sinα)2+(cosα)2=1 (2)1+(tanα)2=(secα)2 (3)1+(cotα)2=(cscα)2
(4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（证明：利用A+B=π-C ）
同理可得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论： (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
222
(7)(cosA）+(cosB）+(cosC）=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）2+（sinB）2+（sinC）2=2+2cosAcosBcosC (9)设tan(A/2)=t
sinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）
cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z）
2.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 3.在三角中，你知道1等于什么吗？（1?sin2x?cos2x?sec2x?tan2x ?tanx?cotx?tan?cos0???这些统称为1的代换) 常数 “1”
42的种种代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱导公试：奇变偶不变，符号看象限）
?sin??4.在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如??(???)??,??(???)??,
???2????????????????等）
2??2??5.你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三
角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来）
6.你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos2x=(1+cos2x)/2;sin2x=(1-cos2x)/2 7.你还记得某些特殊角的三角函数值吗？ （sin15??cos75??. .
6?2,sin75??cos15??46?2,sin18??45?1） 4.
8.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(l??r,S扇形?1lr) 29. 辅助角公式：asinx?bcosx?a2?b2sin?x???(其中?角所在的象限由a, b 的符号确定，?角的值由tan??b确定)在求最值、化简时起着重要作用. a10.三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴、对称中心，取最值时的x值的集合吗？（别忘了k?Z）
三角函数性质要记牢。函数y=Asin(??x??)?k的图象及性质： 振幅|A|，周期T=
2??, 若x=x0为此函数的对称轴，则x0是使y取到最值的点，
反之亦然，使y取到最值的x的集合为——————————， 当??0,A?0时函数的增区间为————— ，减区间为—————；当??0时要利用诱导公式将?变为大于零后再用上面的结论。
?3?五点作图法：令?x??依次为0,?,,2? 求出x与y，依点?x,y?作图
22注意（1）?x??的整体化法思维求单调性、对称轴、对称中心、值域等。 （2）用换元法时，注意新的定义域范围。
11.三角函数图像变换还记得吗？
平移公式（1）如果点 P（x，y）按向量a??h,k? 平移至P′（x′，y′），则
'??x?x?h, ?'??y?y?k.?（2） 曲线f（x，y）=0沿向量a??h,k?平移后的方程为f（x-h，y-k）=0 12.解三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式
13.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？ ①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是
??????0,?,[0,],[0,?]。
2?2? ②直线的倾斜角、l1到l2的角、l1与l2的夹角的取值范围依次是
[0,?),[0,?),(0,?2]。
. .
.
③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是[?14.三角函数易错点的典型例题 （1）隐含条件
例1．设0????，sin??cos????,],[0,?],(?,) 2222。
??1，则cos2?的值为 。 2错解：sin2???73，∵0?2??2?，∴cos2???。
44正解：∵sin??0,cos??0且sin??cos??1?0， 2∴
?2???73?3?，∴??2??，∴cos2???。
442例1－1．已知sinx?cosx?7,0?x??，则tanx? 。 13125或?。 51212正解：?。
5错解：?例1-2.一组似是而非的问题
35，sinB?，求sinC的值。 51335②在ΔABC中，cosA?，sinB?，求cosC的值。
513412③在ΔABC中，sinA?，cosB?，求sinC的值。
513①在ΔABC中，cosA?
①解∵0?A??,0?B??，
∴sinA?1?cosA?1?()?2352452122，cosB??1?sinB??1?()??， 51313∴sinC?sin[??(A?B)]?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB，
41235634123533，或sinC???????????，
513513655135136563又∵C为三角形的内角，∴sinC?0，∴sinC?。
65∴sinC?
②解：∵0?A??,0?B??，
. .