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第七节 方向导数与梯度
要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。 重点：方向导数与梯度的计算。
难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。 作业：习题8－7（P60）2,4,6,8,10
一．方向导数
问题提出：在许多实际问题中，常常需要知道函数z?f(x,y)在点P(x,y)沿任意方向或某个方向的变化率．例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题．
1．方向导数定义
设函数z?f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域内有定义，自P点引有向直线L，x轴正向与直线L夹角为?，在L上任取一点P'(x??x,y??y)，若P'沿着L趋近于P时，即当??(?x)2?(?y)2?0时，极限
f(x??x,y??y)?f(x,y) 存在
lim??0?则称此极限值为函数在点P沿着L方向的方向导数．记作
?ff(x??x,y??y)?f(x,y)?lim． ??0?L?说明
（1）规定逆时针方向旋转生成的角是正角??0，顺时针方向旋转生成的角是负角
??0；
2．方向导数的计算
定理 若函数z?f(x,y)在点P(x,y)可微分，那么函数z?f(x,y)在点P(x,y)沿任一方向L的方向导数都存在，且有计算公式
??f?f???f?f??f?f?f?cos??sin???,???cos?,sin????,??e． ?L?x?y??x?y???x?y?其中?为x轴到方向L的转角，e是与L同方向的单位向量．
证明：因为函数z?f(x,y)在点P(x,y)可微分，所以有
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?f??f?f?x??y?o(?)， ?x?y上式两边同除以?，得
?f???f?x?f?yo(?)?f?fo(?)???cos??sin??，则 ?x??y???x?y?
?f?f?f?f?lim?cos??sin? ?L??0??x?y2y例1．求函数z?xe在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,?1)的方向的方向导数．
解 这里方向L即向量PQ??1,?1?的方向，因此x轴到L方向的转角??又因为
?4,
?z?z?z?z?2xe2y，所以在点(1,0)处，?1，?2， ?e2y，?y?y?x?x
于是方向导数为
?z??2?1?cos(?)?2sin(?)??． ?L442另一方法．
例2. 设由原点到点(x,y)的向径为r，x轴到r的转角为?，x轴到射线L的转角为
???，求
?r?22，其中r?r?x?y(r?0)． ?L 解 因为
?r??xxx2?y2?x?r?cos?，?r?yyx2?y2?y?sin? r?r?cos?cos??sin?sin??cos(???)， ?L?r讨论：当???时，?1,即沿着向径本身方向的方向导数为1,
?L??r 当????时，?0,即沿着与向径垂直的方向导数为零．
2?L所以
3．三元函数的方向导数
三元函数u?f(x,y,z)在空间一点P(x,y,z)沿方向L(设方向L的方向角为?,?,?)的方向导数，同样定义为
?ff(x??x,y??y,z??z)?f(x,y,z)?lim． ??0?L?其中??精品文档
(?x)2?(?y)2?(?z)2，?x??cos?,?y??cos?,?z??cos?．
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若函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)可微分，则在该点方向导数计算公式为
?f?f?f?f?f?f?f?cos??cos??cos??{,,}?{cos?,cos?,cos?} ?L?x?y?z?x?y?z?{?f?f?f,,}?e． ?x?y?z其中e?{cos?,cos?,cos?}是与L同方向的单位向量．
例3．求函数u?xyz在点P(5,1,2)处沿从点P(5,1,2)到点Q(9,4,14)的方向的方向导数．
解 因为
?u?u?u?u?xz,?xy，所以?yz，?y?z?x?x?2,P?u?y?10,P?u?z?5，
P而且PQ?{9?5,4?1,14?2}?{4,3,12}，|PQ|?42?32?122?13，于是 cos??
43,co?s?131312,c?o?s，从而
13?31?0131298??5?． 1313?f?f?f?f4?co?s?co?s?c?os??2?L?x?y?z13二．梯度
1．梯度定义
设函数z?f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)?D都可确定出一个向量记作
?f??f?i?j，这个向量称为函数z?f(x,y)在点P(x,y)?D的梯度，?x?y?f??f???f?f?i?j??,?． gradf(x,y)??x?y??x?x?2．梯度与方向导数关系
设e?cos?i?sin?j是与L同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式得
??f???f?f?ff?cos??si?n??,????L?x?yy??x?? inc?os,??s ?gradf(x,y)?e?gradf(x,y)?ecos(gradf^e) ?prjLgradf(x,y)．
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