高中数学空间几何体的表面积与体积

第2讲 空间几何体的表面积与体积

一、选择题

1.(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部

的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

π16解析 设米堆的底面半径为r尺,则2r=8,所以r=π. 112π?16?2320

?π?·所以米堆的体积为V=4×3π·r·5=12·5≈9(立方尺). ??320

故堆放的米约有9÷1.62≈22(斛). 答案 B

2.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是( ) A.2 3

C.2

9B.2 D.3

1

解析 由三视图知,该几何体是四棱锥,底面是直角梯形,且S底=2(1+2)×21

=3.∴V=3x·3=3,解得x=3. 答案 D

3.(2017·合肥模拟)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )

A.1+3 C.1+22

B.2+3 D.22

解析 四面体的直观图如图所示.

侧面SAC⊥底面ABC,且△SAC与△ABC均为腰长是2的等腰直角三角形,SA=SC=AB=BC=2,AC=2. 设AC的中点为O,连接SO,BO,则SO⊥AC,又SO?平面SAC,平面SAC∩平面ABC=AC,

∴SO⊥平面ABC,又BO?平面ABC,∴SO⊥BO. 又OS=OB=1,∴SB=2,

1

故△SAB与△SBC均是边长为2的正三角形,故该四面体的表面积为2×23

×2×2+2×4×(2)2=2+3. 答案 B

4.(2015·全国Ⅱ卷)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( ) A.36π

B.64π

C.144π

D.256π

解析 因为△AOB的面积为定值,所以当OC垂直于平面AOB时,三棱锥O11

-ABC的体积取得最大值.由3×2R2×R=36,得R=6.从而球O的表面积S=4πR2=144π. 答案 C

5.(2017·青岛模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,NB=2PN,则三棱锥N-PAC与三棱锥D-PAC的体积比为( ) A.1∶2 C.1∶6

B.1∶8 D.1∶3

解析 设点P,N在平面ABCD内的投影分别为点P′,N′,则PP′⊥平面ABCD,NN′2NN′⊥平面ABCD,所以PP′∥NN′,则在△BPP′中,由BN=2PN得PP′=3. 1

V三棱锥N-PAC=V三棱锥P-ABC-V三棱锥N-ABC=3S△ABC·PP′-

111

NN′=3S△ABC·(PP′-NN′)=3S△ABC·

3S△ABC·

11PP′=PP′,V39S△ABC·

三棱锥D-PAC=V

1

=PP′,又∵四边形ABCD三棱锥P-ACD

3S△ACD·

V三棱锥N-PAC1

是平行四边形,∴S△ABC=S△ACD,∴=.故选D.

V三棱锥D-PAC3答案 D 二、填空题

6.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为________.

11

解析 设新的底面半径为r,由题意得3πr2·4+πr2·8=3π×52×4+π×22×8,解得r=7. 答案

7

7.已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为________.

解析 依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径,可设球半径为R,则2R=12+12+(2)2=2, 4π34π解得R=1,所以V=3R=3. 4答案 3π

8.(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

解析 由三视图可知,该几何体是一个底面半径为1,高为2的圆柱和底面半径为1,高为1的半圆锥拼成的组合体.∴

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4