第2讲 空间几何体的表面积与体积
一、选择题
1.(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部
的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( ) A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
π16解析 设米堆的底面半径为r尺，则2r＝8，所以r＝π. 112π?16?2320
?π?·所以米堆的体积为V＝4×3π·r·5＝12·5≈9(立方尺). ??320
故堆放的米约有9÷1.62≈22(斛). 答案 B
2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( ) A.2 3
C.2
9B.2 D.3
1
解析 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝2(1＋2)×21
＝3.∴V＝3x·3＝3，解得x＝3. 答案 D
3.(2017·合肥模拟)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )
A.1＋3 C.1＋22
B.2＋3 D.22
解析 四面体的直观图如图所示.
侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是2的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝2，AC＝2. 设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，又SO?平面SAC，平面SAC∩平面ABC＝AC，
∴SO⊥平面ABC，又BO?平面ABC，∴SO⊥BO. 又OS＝OB＝1，∴SB＝2，
1
故△SAB与△SBC均是边长为2的正三角形，故该四面体的表面积为2×23
×2×2＋2×4×(2)2＝2＋3. 答案 B
4.(2015·全国Ⅱ卷)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( ) A.36π
B.64π
C.144π
D.256π
解析 因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O11
－ABC的体积取得最大值.由3×2R2×R＝36，得R＝6.从而球O的表面积S＝4πR2＝144π. 答案 C
5.(2017·青岛模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB＝2PN，则三棱锥N－PAC与三棱锥D－PAC的体积比为( ) A.1∶2 C.1∶6
B.1∶8 D.1∶3
解析 设点P，N在平面ABCD内的投影分别为点P′，N′，则PP′⊥平面ABCD，NN′2NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′，则在△BPP′中，由BN＝2PN得PP′＝3. 1
V三棱锥N－PAC＝V三棱锥P－ABC－V三棱锥N－ABC＝3S△ABC·PP′－
111
NN′＝3S△ABC·(PP′－NN′)＝3S△ABC·
3S△ABC·
11PP′＝PP′，V39S△ABC·
三棱锥D－PAC＝V
1
＝PP′，又∵四边形ABCD三棱锥P－ACD
3S△ACD·
V三棱锥N－PAC1
是平行四边形，∴S△ABC＝S△ACD，∴＝.故选D.
V三棱锥D－PAC3答案 D 二、填空题
6.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.
11
解析 设新的底面半径为r，由题意得3πr2·4＋πr2·8＝3π×52×4＋π×22×8，解得r＝7. 答案
7
7.已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________.
解析 依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝12＋12＋（2）2＝2， 4π34π解得R＝1，所以V＝3R＝3. 4答案 3π
8.(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.
解析 由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱和底面半径为1，高为1的半圆锥拼成的组合体.∴