高考圆锥曲线定点定值技巧
一、定点、定值、定形问题中的两种常用方法
1．“特殊”探求
例1．已知直线过点M(m，0)(m?0)且与抛物线y2?2px(p?0)交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，求证：x1·x2，y1·y2均为定值，并求这个定值．
解：①特殊位置的探讨：如图1，当过点M(m，0)(m?0)的直线与x垂直时，
x1·x2＝m2，y1·y2＝?2pm；
②一般性的证明：如图2，当过点M(m，0)(m?0)的直线与x垂直时，设过点
M(m，0)(m?0)的直线方程为：x?ty?m
【“基本特征式”的运算】． 由??x?ty?m2?y?2px ?y2?2pty?2pm?0?y1·y2＝?2pm?x1·x2＝m2．
小结：①定点、定值、定形问题的求解，先“特殊”探求，再证明一般的情况； ②“特殊”是指：特殊点、特殊位置、特殊直线、极端位置(空间图形的平面轨迹)、极限位置、特殊值、特殊图形(如：三棱锥→正四面体)、初始值(如数列问题，首先用a1、a2、a3求出满足条件的参数，再证明一般的情况)；
③华罗庚教授反复强调：“退，退，退到原始状态，退到最简单的位置”，即“特殊”探路；
④直线与x轴垂直，是很“容易遗忘”的失分参数．有了“特殊”探路的解题意识，相反能提高警惕，提高得分能力；
p2 ⑤相关结论：当直线过焦点时，x1·x2＝，y1·y2＝?p2；当直线过点
4pp2(?，0)时，x1·x2＝，y1·y2＝p2； 24x2y2??1．E、F是椭圆C上的两个动点，例2．（09、辽宁）已知椭圆C：43点A(1，)是椭圆上的一个定点．如果直线AE、AF的斜率互为相反数，证明直线
32EF的斜率为定值，并求出这个定值．
0)(即右顶点)?kAF??解：①“特殊”探讨：取点F(2，33?kAE??直线223?y?x3?AE的方程：y?x．由?? 22?3x2?4y2?12?x??1?y??3? 2kEF30?(?)y?yE2?1． ??F2?(?1)2xF?xE32②一般性的证明：设过点A(1，)的直线方程为：y?m(x?1)?3 23?y?m(x?1)?3?（3+4m2）x2+4m(3?2m)x?4(?m)2?12?0． 由?2?2?3x2?4y2?12?34(?m)2?12 设方程的两根为x1、xA，则x1·xA＝x1?x1＝2．
3?4m2 分别用“k”“?k”替换“m”
93?6k2?6k?4(?k)2?124k2?12k?332， y?kx??k＝，＝xE?2EE24k2?33?4k24k2?392?6k?6k?4k2?12k?32．所以直线EF的斜率 ，yF＝xF＝224k?34k?399(?6k2?6k?)?(?6k2?6k?)y?yE22?1．即直线EF的斜率=?F2(4k2?12k?3)?(4k2?12k?3)xF?xEkEF为定值，其值为
1． 2小结：①取特殊点，求出定值，后续运算仅仅是一个填空程序； ②上述解题过程，运用了“对偶运算”，减少运算、减轻思维负担． 2．“与参数k无关”
例3．已知直线L与抛物线y2?2px(p?0)交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，
p2且x1·x2＝．求证：直线L经过定点，并求出这个定点的坐标．
40)，B(m，0)? 解：①直线L?x轴，设其方程为x?m(m?0)?A(m，pp2p22x1·x2＝m．又x1·x2＝?m＝?由m?0?m??直线L
24420)． 过定点(，p2?y?kx?m? ②当直线L不垂直于x轴时，设其方程为y?kx?m，由?2y?2px?m2p2p2m2＝2 kx?(2km?2p)x?m?0?x1x2?2，又x1·x2＝?44kk222pk2m2kp?m???m??直线L：y?kx?m?y?k(x?)．
242当x??pp0)，或定点时，y?0，“与参数k无关”?直线L过定点(，22p(?，0)． 2小结：①“与参数k无关”，是初一年级关于方程“ax?b”解状讨论的直接应用：a?b?0?x?R；
②“与参数k无关”，体现为“零”多项式理论，或“零次”多项式理论． 例4．例10．(07、湖南理21）已知双曲线x?y?2的左、右焦点分别为F1，
22F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．【直接法求轨迹】
O为坐标原点）（1）若动点M满足FM，求点M的轨?F1A?F1B?FO11（其中
迹方程；
(2)在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由条件知F1(?2， 0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．设M(x，y)．