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概率论与数理统计作业及解答
第一次作业
★1.甲?乙?丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹?设事件A?B?C分别表示甲?乙?丙击中目标?则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示.
事件E?{事件A,B,C最多有一个发生},则E的表示为
E?ABC?ABC?ABC?ABC;或?ABACBC;或?ABACBC;
或?ABACBC;或?ABC?(ABC?ABC?ABC).
(和A?B即并AB,当A,B互斥即AB??时?AB常记为A?B?) 2.设M件产品中含m件次品?计算从中任取两件至少有一件次品的概率.
1122CC?CCMm(2M?m?1)m 1?2?m或mM?m?2M(M?1)CMCM★3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只?计算以下事件的概率. A?{8只鞋子均不成双},B?{恰有2只鞋子成双},C?{恰有4只鞋子成双}. ★4.设某批产品共50件?其中有5件次品?现从中任取3件?求? (1)其中无次品的概率?(2)其中恰有一件次品的概率? 321C45C45C5141999(1)3??0.724.(2)3??0.2526. C501960C503925.从1～9九个数字中?任取3个排成一个三位数?求? (1)所得三位数为偶数的概率?(2)所得三位数为奇数的概率? 4(1)P{三位数为偶数}?P{尾数为偶数}?, 95(2)P{三位数为奇数}?P{尾数为奇数}?, 945或P{三位数为奇数}?1?P{三位数为偶数}?1??. 996.某办公室10名员工编号从1到10?任选3人记录其号码?求?(1)最小号码为5的概率?(2)最大号码为5的概率? 记事件A?{最小号码为5},B?{最大号码为5}. 2C521C41(1)P(A)?3?;(2)P(B)?3?. C1012C10207.袋中有红、黄、白色球各一个?每次从袋中任取一球?记下颜色后放回?共取球三次? 求下列事件的概率:A={全红}?B={颜色全同}?C={颜色全不同}?D={颜色不全同}?E={无
黄色球}?F={无红色且无黄色球}?G={全红或全黄}.
☆.某班n个男生m个女生(m?n?1)随机排成一列?计算任意两女生均不相邻的概率. ☆.在[0?1]线段上任取两点将线段截成三段?计算三段可组成三角形的概率. 第二次作业
1.设A?B为随机事件?P(A)?0.92?P(B)?0.93?P(B|A)?0.85?求?(1)P(A|B)?(2)P(A∪B)?
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(1)0.85?P(B|A)?P(AB)P(AB)?,P(AB)?0.85?0.08?0.068, P(A)1?0.92(2)P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.92?0.93?0.862?0.988. 2.投两颗骰子?已知两颗骰子点数之和为7?求其中有一颗为1点的概率. 记事件A?{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},B?{(1,6),(6,1)}.
★.在1—2000中任取一整数?求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率? 记事件A?{能被5除尽},B?{能被7除尽}.
4001取整P(A)??,2000528575?2000??2000??285,?57, P(B??P()AB)?,??2020000?7???5?7??3.由长期统计资料得知?某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15?刮风(用B表示)的概率为7/15?既刮风又下雨的概率为1/10?求P(A|B)、P(B|A)、P(AB)? 4?设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2?若第一次落下未摔破?第二次落下时摔破的概率是7/10?若前二次落下未摔破?第三次落下时摔破的概率是9/10?试求落下三次而未摔破的概率． 记事件Ai={第i次落下时摔破}?i?1,2,3. 5?设在n张彩票中有一张奖券?有3个人参加抽奖?分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率．
记事件Ai={第i个人摸到奖券}?i?1,2,3. 1由古典概率直接得P(A1)?P(A2)?P(A3)?. nn?111或P(A2)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)??, nn?1n1或第一个人中奖概率为P(A1)?, n21前两人中奖概率为P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?,解得P(A2)?, nn31前三人中奖概率为P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?,解得P(A3)?. nn6?甲、乙两人射击?甲击中的概率为0?8?乙击中的概率为0?7?两人同时射击?假定中靶与否是独立的?求(1)两人都中靶的概率?(2)甲中乙不中的概率?(3)甲不中乙中的概率? 记事件A={甲中靶}?B={乙中靶}.
,(1)P(AB)?P(A)P(B)?0.7?0.7?0.56, (2)P(AB)?P(A)?P(AB)?0.8?0.56?0.24, (3)P(AB)?P(B)?P(AB)?0.7?0.56?0.14.
★7?袋中有a个红球?b个黑球?有放回从袋中摸球?计算以下事件的概率? (1)A?{在n次摸球中有k次摸到红球}? (2)B?{第k次首次摸到红球}?
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(3)C?{第r次摸到红球时恰好摸了k次球}?
a??b?k?(1)P(A)?Cn?????a?b??a?b??b?(2)P(B)????a?b?k?1kn?kakbn?k?C;
(a?b)nknaabk?1?; ka?b(a?b)rk?ra??b??1?(3)P(C)?Ckr?1?????a?b??a?b??Cr?1k?1arbk?r.
(a?b)k80.求该射手射击一次818?一射手对一目标独立地射击4次?已知他至少命中一次的概率为命中目标的概率? 设射击一次命中目标的概率为p,q?1?p.q4?1?80112?,q?,p?1?q?. 8181339?设某种高射炮命中目标的概率为0.6?问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标? (1?0.6)n?1?0.99,0.4n?0.01,由0.45?0.01024,0.46?0.01,得n?6. ☆.证明一般加法(容斥)公式 证明只需证分块Ai1AikAik?1Ain?Ai1,,Aik只计算1次概率．(i1,,in是1,,n的一个排列?k?1,2,,n.)分块概率重数为 Ai1,,Aik中任取1个?任取2个??(?1)k?1任取k个?即 将,互换可得对偶加法(容斥)公式 ☆.证明若A?B独立?A?C独立?则A?B∪C独立的充要条件是A?BC独立. 证明 充分性?: P(A(BC))?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(ABC),代入P(ABC)?P(A)P(BC) ?P(A)(P(B)?P(C)?P(BC))?P(A)P(BC),即A,BC独立. 必要性?: P(ABC)?P(A)P(BC),即A,BC独立. ☆.证明：若三个事件A、B、C独立，则A∪B、AB及A－B都与C独立． 证明因为 所以A∪B、AB及A－B都与C独立. 第三次作业 1?在做一道有4个答案的选择题时?如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测?设他知道问题的正确答案的概率为p?分别就p?0.6和p?0.3两种情形求下列事件概率? (1)学生答对该选择题?(2)已知学生答对了选择题?求学生确实知道正确答案的概率? 记事件A={知道问题正确答案}?B={答对选择题}.
1?p13p??, (1)由全概率公式得P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?p?44413p13?0.67????0.7, 当p?0.6时?P(B)??444410