|Pn?1Pn?2|?1?(n?2)2,|PnPn?1|?1?(n?1)2
|Pn?1Pn?2|?|PnPn?1|?1?(n?2)?1?(n?1)?2n?31?(n?2)?1?(n?1)22221?(n?2)2?1?(n?1)21?(n?2)?1?(n?1)22
?
因为 所以
1?(n?2)2?n?2,1?(n?1)2?n?1
0?
2n?31?(n?2)?1?(n?1)22?1
综上
0?|Pn?1Pn?2|?|PnPn?1|?1
注:不同解法请教师参照评标酌情给分.
23．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）已知等差数列?an?的前n项和为Sn. (I)若a1?1,S10?100,求{an}的通项公式;
2(II)若Sn?n?6n,解关于n的不等式Sn?an?2n.
【答案】解:(I)设{an}的公差为d
因为a1?1,
S10?a1?a10?10?1002 所以a1?1,a10?19 所以d?2 所以 an?2n?1
2S?n?6n n(II)因为
2S?(n?1)?6(n?1) 所以an?2n?7,n?2 n?2n?1当时,
又n?1时,a1?S1??5?2?7 所以 an?2n?7
2S?a?n?4n?7 所以n2?4n?7?2n,即n2?6n?7?0 nn所以
所以n?7或n??1,所以n?7,n?N
24．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）(本小题满分13分)
1 2 3 6 ?7
设A是由m?n个实数组成的m行n列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表A如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数
?2 1 0 1 之和与每列的各数之和均为非负整数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可); (Ⅱ) 数表A如表2所示,若经过任意一次“操作”以后,便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数a的值;
aa2?1?a?a2(Ⅲ)对由m?n个整数组成的m行n列的任意一个数表A, 2?a1?a2a?2a2能否经过有限次“操作”以后,使得得到的数表每行的各数之 表2和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由. 【答案】解:(I) 法1:
123?7?2101?????改变第4列?1237?210?1?????改变第2行?12372?101
法2:
123?7改变第2行123?7改变第4列1237?2101??????2?10?1??????2?101
法3:
123?7?123?7?1237?2101?????改变第1列?2101?????改变第4列?210?1
(写出一种即可)
(II) 每一列所有数之和分别为2,0,?2,0,每一行所有数之和分别为?1,1; ①如果操作第三列,则
aa2?1a?a22?a1?a22?aa2
则第一行之和为2a?1,第二行之和为5?2a,
??2a?1?0?5?2a?0,解得a?1,a?2 ② 如果操作第一行
?a1?a2aa22?a1?a2a?2a2
则每一列之和分别为2?2a,2?2a2,2a?2,2a2 解得a?1 综上a?1
7
(III) 证明:按要求对某行(或某列)操作一次时,则该行的行和(或该列的列和) 由负整数变为正整数,都会引起该行的行和(或该列的列和)增大,从而也就使得 数阵中mn个数之和增加,且增加的幅度大于等于1?(?1)?2,但是每次操作都只 是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,数表中mn
个数之和必然小于等于
??|ai?1j?1mnij|,可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止
之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数,故结论成立
25．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知Sn为等差数列?an?的前n项和,且S5?30,a1?a6?14.
(Ⅰ)求数列?an?的通项公式; (Ⅱ)求数列2??的前n项和公式.
an【答案】解(Ⅰ)设等差数列an的公差为d, 因为S5?30,a1?a6?14
??5?4?d?30?5a1?所以?解得a1?2,d?2. 2??2a1?5d?14所以an?a1?(n?1)d?2?(n?1)?2?2n.
bn?14n?1(Ⅱ)由(Ⅰ)可知an?2n,令bn?2 则bn?4, 又?n?4(n?N?)
bn4ann所以bn是以4为首项,4为公比的等比数列, 设数列bn的前n项和为Tn
????4(1?4n)4n?14?? 则Tn?b1?b2?L?bn?4?4?4?L?4?1?43323n26．（北京市石景山区2013届高三一模数学文试题）给定有限单调递增数列{xn}(n∈N,n≥2)且xi≠0(1≤ i *
≤n),定义集合A={(xi,xj)|1≤i,j≤n,且i,j∈N}.若对任意点A1∈A,存在点A2∈A使得OA1⊥OA2(O为坐标原点),则称数列{xn}具有性质P.
(I)判断数列{xn}:-2,2和数列{yn}:-2,-l,1,3是否具有性质P,简述理由. (II)若数列{xn}具有性质P,求证:
①数列{xn}中一定存在两项xi,xj使得xi+xj =0: ②若x1=-1, xn>0且xn>1,则x2=l. 【答案】
*
8
27．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）已知等差数列?an?的通项公式为an=3n-2,等比数列?bn?中,b1?a1,b4?a3?1.记集合A??xx?an,n?N*?, B??xx?bn,n?N*?,U?A?B,把集合U中的元素按从小到大依次排列,构成数列?cn?. (Ⅰ)求数列?bn?的通项公式;
(Ⅱ)求数列?cn?的前50项和S50;
(Ⅲ)把集合CUA中的元素从小到大依次排列构成数列?dn?,写出数列?dn?的通项公式,并说明理由. 【答案】解:(Ⅰ)设等比数列?bn?的公比为q,
?b1?a1?1,b4?a3?1?8,则q3=8,?q=2,?bn=2n-1,
(Ⅱ)根据数列{an}和数列?bn?的增长速度,数列?cn?的前50项至多在数列{an}中选50项,数列{an}的前50项所构成的集合为{1,4,7,10,,148},由2<148得,n≤8,数列{bn}的前8项构成的集合为{1,2,4,8,16,32,64,128},其中1,4,16,64是等差数列{an}中的项,2,8,32,128不是等差数列中的项,a46=136>128,故数列{cn}的前50项应包含数列{an}的前46项和数列{bn}中的2,8,32,128这4项
46(a1?a46)所以S50=?2?8?32?128=3321;
2(Ⅲ)据集合B中元素2,8,32,128?A,猜测数列?dn?的通项公式为dn =2
2n-1
n-1
?dn=b2n ,?只需证明数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n?A(n?N?)
证明如下:
?b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即b2n+1=b2n-1+3×4n-1,
9
若?m∈N,使b2n-1=3m-2,那么b2n+1=3m-2+3×4=3(m+4)-2,所以,若b2n-1∈A,则b2n+1∈A.因为b1∈A,重复使用上述结论,即得b2n-1∈A(n?N?). 同理,b2n+2-b2n=2
2n+1
*n-1n-1
-2
2n-1
=2×4-2×4=3×2×4,即b2n+2=b2n+3×2×4,因为“3×2×4” 数列?an?的
n
n-1
n-1
n-1
n-1
公差3的整数倍,所以说明b2n 与b2n+2(n?N?)同时属于A或同时不属于A, 当n=1时,显然b2=2?A,即有b4=2?A,重复使用上述结论,
2n-1
即得b2n?A,?dn =2;
28．（2013届北京大兴区一模文科）已知数列{an}的各项均为正整数,且a1?a2?L?an,
设集合Ak?{x|x?}1≤k≤n）. ??a，???1，或??0，或??1（iiiiii?1kn性质1 若对于?x?Ak,存在唯一一组?i(i?1,2,???，k)使x???iai成立,则称数列{an}为完备数列,当ki?1取最大值时称数列{an}为k阶完备数列.
性质2 若记mk??a,且对于任意x≤mk,x?Z,都有x?Ak成立,则称数列{an}为完整（）i1≤k≤ni?1k数列,当k取最大值时称数列{an}为k阶完整数列.
性质3 若数列{an}同时具有性质1及性质2,则称此数列{an}为完美数列,当k取最大值时{an}称为k阶完美数列;
(Ⅰ)若数列{an}的通项公式为an?2n?1,求集合A2,并指出{an}分别为几阶完备数列,几阶完整数列,几阶完美数列;
n?1(Ⅱ)若数列{an}的通项公式为an?10,求证:数列{an}为n阶完备数列,并求出集合An中所有元素
的和Sn.
(Ⅲ)若数列{an}为n阶完美数列,试写出集合An,并求数列{an}通项公式. 2013年高三统一练
【答案】解:(Ⅰ)A2?{?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4};
{an}为2阶完备数列,n阶完整数列,2阶完美数列;
(Ⅱ)若对于?x?An,假设存在2组?i及?i(i?1,2?,n)使x???aii?1ni成立,则有
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