夜来风雨声专题2.3 函数奇偶性与周期
1．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2＋m，则f(－2)＝________. 【答案】－3
【解析】因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝2＋m＝0，解得m＝－1，则f (－2)＝－f(2)＝－(2－1)＝－3.
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2－2，则不等式f(x－1)≤2的解集是________． x2
0
x【答案】[－1,3]
【解析】偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝2.
所以f(x－1)≤2，即f(|x－1|)≤f(2)，即|x－1|≤2，所以－1≤x≤3. 3．函数f(x)＝x＋1
x＋1，f(a)＝3，则f(－a)＝________.
【答案】－1
【解析】由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋11
a＋1＋(－a)＋－a＋1＝2.
所以f(－a)＝2－f (a)＝－1.
4．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 【答案】－－x－1
5．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f??3?2???
＝________.
【答案】3
2
【解析】依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)， 则f??3?2???＝f??1?－2???＝f??1?2??1
3?＝2
＋1＝2. 6．若函数f(x)＝???
xx－b，x≥0??
axx＋
，x＜0
(a，b∈R)为奇函数，则f(a＋b)＝________.
【答案】－1
【解析】法一：因为函数f(x)为奇函数，
1
夜来风雨声所以?
?f???f－1＝－f1，－2＝－f2，
?－b＝a－1＋2，?
即???22－b＝2a－2＋2，
解得?
?a＝－1，???b＝2，
经验证a＝－1，b＝2满足题设条件，
所以f(a＋b)＝f(1)＝－1.
法二：因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，由题意知，
b??b当x≥0，二次函数的图象顶点坐标为?，－?，
4??2
当x＜0，二次函数的图象顶点坐标为(－1，－a)，
2
b－＝－1，??2所以?b??4＝－a，
2
解得a＝－1，b＝2，
经验证a＝－1，b＝2满足题设条件， 所以f(a＋b)＝f(1)＝－1.
?2 016?＋lg 7.已知函数f(x)是周期为2的奇函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)，则f?18＝________. ?
?5?
【答案】1
8.设函数f(x)＝xcos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________. 【答案】－9
【解析】观察可知，y＝xcos x为奇函数，且f(a)＝acos a＋1＝11，故acos a＝10.则f(－a)＝－a·cos
3
3
3
3
3
a＋1＝－10＋1＝－9.
9.设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f?【答案】－8
?x＋1?的所有x之和为________．
??x＋4?
2
夜来风雨声
10. 已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________. 【答案】 7
【解析】因为当0≤x＜2时，f(x)＝x－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以
3
3
f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0， 6]上与x轴的交点个数为7.
－x＋2x，x>0，??
11. 已知函数f(x)＝?0，x＝0，是奇函数.
??x2＋mx，x<0
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. [答案] (1，3].
[解析] (1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)＋2(－x)＝－x－2x.又f(x)为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，
2
2
2
f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数， 要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增.
??a－2>－1，
结合f(x)的图象知?
?a－2≤1，?
所以1 3 夜来风雨声12.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)． (1)求证：f(x)是周期函数； (2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝11 2x，求使f(x)＝－2在[0,2 014]上的所有x的个数． 【答案】(1) 详见解析，(2) 503. 【解析】(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝1 2(x－2)， ∴f(x)＝－1 2(x－2)(1 ?∴f(x)＝?1?2x，－1≤x≤1， ??－1 2x－，1 由f(x)＝－1 2 ，解得x＝－1. 4