从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩潭中鱼可百许头，皆若空游无所依。日光下澈，影布石上，佁然不动；俶尔远逝，往来翕忽。似与游者相乐。专题检测（十九）坐标系与参数方程
1??x＝1＋2t，
1．(2017·合肥一检)已知直线l的参数方程为?
??y＝3＋3t
(t为参数)．在以坐标原点为极点，
x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为sin θ－3ρcos2θ＝0.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．
解：(1)∵sin θ－3ρcosθ＝0，∴ρsin θ－3ρcosθ＝0， 即y－3x＝0.
故曲线C的直角坐标方程为y－3x＝0. 1??x＝1＋2t，
(2)将?
??y＝3＋3t，
2
2
2
2
2
代入y－3x＝0得，
2
?1?2
3＋3t－3?1＋t?＝0，
?2?
解得t＝0，
从而交点坐标为(1，3)，
?π?∴交点的一个极坐标为?2，?.
3??
2．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方
?π?程为ρ＝4cos θ，θ∈?0，?. 2??
(1)求半圆C的参数方程；
(2)若半圆C与圆D：(x－5)＋(y－3)＝m(m是常数，m＞0)相切，试求切点的直角坐标． 解：(1)半圆C的普通方程为(x－2)＋y＝4(0≤y≤2)，
?x＝2＋2cos t，?
则半圆C的参数方程为?
??y＝2sin t
2
2
2
2
(t为参数，0≤t≤π)．
(2)C，D的圆心坐标分别为(2,0)，(5，3)， 于是直线CD的斜率k＝3－03
＝. 5－23
由于切点必在两个圆心的连线上， 故切点对应的参数t满足tan t＝
3π
，t＝， 36
ππ??所以切点的直角坐标为?2＋2cos，2sin?， 66??即(2＋3，1)．
从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩潭中鱼可百许头，皆若空游无所依。日光下澈，影布石上，佁然不动；俶尔远逝，往来翕忽。似与游者相乐。3．(2017·宝鸡质检)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．
(1)求C的直角坐标方程；
??(2)直线l：?3
y＝1＋t??2
1x＝t，
2
2
(t为参数)与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点E，求|EA|＋|EB|.
解：(1)由ρ＝2(cos θ＋sin θ)得ρ＝2ρ(cos θ＋sin θ)， 得曲线C的直角坐标方程为x＋y＝2x＋2y， 即(x－1)＋(y－1)＝2.
(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程， 化简得t－t－1＝0， 点E对应的参数t＝0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2， 则t1＋t2＝1，t1t2＝－1，
所以|EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2| ＝
＋
－4t1t2＝5.
??x＝cos α，
中，已知曲线C1：?
?y＝sin2α?
22
2
2
2
4．(2017·张掖一诊)在直角坐标系xOy
(α为参数)，在以坐标
π?2?原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρcos?θ－?＝－，曲线C3：ρ＝2sin θ.
4?2?
(1)求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；
(2)设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值．
??x＝cos α，
解：(1)曲线C1：?
?y＝sin2α?
2
消去参数α，
得y＋x＝1，x∈[－1,1]． ①
π?2?曲线C2：ρcos?θ－?＝－?x＋y＋1＝0， ②
4?2?联立①②，消去y可得：x－x－2＝0， 解得x＝－1或x＝2(舍去)，所以M(－1,0)．
(2)曲线C3：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x＋(y－1)＝1，是以(0,1)为圆心，半径r＝1的圆． |0＋1＋1|
设圆心为C，则点C到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝2，所以|AB|的最小值为2－1.
2π??5．(2017·成都一诊)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α?α≠?的直线l的参数方程为2??
2
2
2
从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩潭中鱼可百许头，皆若空游无所依。日光下澈，影布石上，佁然不动；俶尔远逝，往来翕忽。似与游者相乐。??x＝1＋tcos α，?
?y＝tsin α?
(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极
坐标方程是ρcosθ－4sin θ＝0.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
2
?π?(2)已知点P(1,0)．若点M的极坐标为?1，?，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线
2??
段AB的中点为Q，求|PQ|的值．
??x＝1＋tcos α，
解：(1)∵直线l的参数方程为?
??y＝tsin α
(t为参数)，∴直线l的普通方程为y＝tan α·(x－1)．
由ρcosθ－4sin θ＝0，得ρcosθ－4ρsin θ＝0， 即x－4y＝0.
∴曲线C的直角坐标方程为x＝4y.
2
2
2
2
2
?π?(2)∵点M的极坐标为?1，?， 2??
∴点M的直角坐标为(0,1)．
3π
∴tan α＝－1，直线l的倾斜角α＝. 42
?x＝1－t，?2
∴直线l的参数方程为?
2y＝t??2代入x＝4y，得t－62t＋2＝0. 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2. ∵Q为线段AB的中点，
t1＋t262
∴点Q对应的参数值为＝＝32.
22又点P(1,0)，则|PQ|＝?
2
2
(t为参数)．
?t1＋t2?＝32.
??2?
6．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
?π?(2)设点A的极坐标为?2，?，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
3??
解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．