《自动控制原理》(下部)第二章
第二章 控制系统的状态空间分析
在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后，本章将讨论线性多变量系统的运动分析，包括线性状态方程的求解和系统的能控与能观性分析。
2.1 定常系统状态方程的解
2.1.1 线性系统的解
给定线性定常系统非齐次状态方程为
?(t)?Ax(t)?Bu(t) Σ：x(2.1.1）
其中，x(t)?Rn,u(t)?Rr,A?Rn?n,B?Rn?r，且初始条件为x(t)t?0?x(0)。 将方程（2.1.1）写为
?(t)?Ax(t)?Bu(t) x 在上式两边左乘e-At，可得
?(t)?Ax(t)]?e?At[x 将上式由O积分到t，得
d?At[ex(t)]?e?AtBu(t) dtte?Atx(t)?x(0)??e?A?Bu(?)d?
o故可求出其解为
x(t)?ex(0)??eA(t??)Bu(?)d?
Atot(2.1.2a)
或
x(t)??(t)x(0)???(t??)Bu(?)d?
ot(2.1.2b)
式中?(t)?e为系统的状态转移矩阵。
对于线性时变系统非齐次状态方程，
类似可求出其解为
At?(t)?A(t)x(t)?B(t)u(t) x(2.1.3）
x(t)??(t,0)x(0)???(t,?)B(?)u(?)d?
ot(2.1.4)
一般说来，线性时变系统的状态转移矩阵?(t,t0)只能表示成一个无穷项之和，只有在特殊情况下，才能写成矩阵指数函数的形式。
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2.1.2 状态转移矩阵
1．状态转移矩阵性质
定义2.1 时变系统状态转移矩阵?(t,t0)是满足如下矩阵微分方程和初始条件
?(t,t)?A(t)?(t,t)??00 ???(t0,t0)?I的解。
下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质：
1、?(t,t)?I；
2、?(t2,t1)?(t1,t0)??(t2,t0)； 3、??1(t,t0)??(t0,t)； 4、当A给定后，?(t,t0) 唯一； 5、计算时变系统状态转移矩阵的公式
?1??(t,t0)?I??A(?)d???A(?1)?A(?2)d?2?d?1?? ??t0t0?t0?tt(2.1.5)
(2.1.6a)
上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限项近似。特别地，
只有当满足
ttA(t)??A(?)d?????A(?)d??A(t)
????t0???t0?即在矩阵乘法可交换的条件下，?(t,t0)才可表示为如下矩阵指数函数形式
?(t,t0)?exp?A(?)d?
t0?t?(2.1.6b)
显然，定常系统的状态转移矩阵?(t?t0)不依赖于初始时刻t0，其性质仅是上述时变系统的特例。
[例2．1] 试求如下线性定常系统
?1??0?x?x????2??2??1??x1??x? ?3???2?的状态转移矩阵Ф(t)和状态转移矩阵的逆Ф-1(t）。
[解] 对于该系统，
?0A????2其状态转移矩阵由下式确定
1? ?3???(t)?eAt?L?1[(sI?A)?1]
由于
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?ssI?A???0其逆矩阵为
0??0???s???21??s????3??21?s???1? ?s?3?(sI?A)?1??s?31(s?1)(s?2)???2s?3??(s?1)(s?2)???2??(s?1)(s?2)?因此
1?(s?1)(s?2)??s?(s?1)(s?2)??
?(t)?eAt?L?1[(sI?A)?1]
?2e?t?e?2te?t?e?2t?=? ?t?2t?t?2t??e?2e???2e?2e?? 由于Ф-1（t）=Ф(-t)，故可求得状态转移矩阵的逆为
?(t)?e?1?At?2et?e2t??t2t???2e?2eet?e2t? t2t??e?2e?? [例2.2] 求下列系统的时间响应：
?1??0?x???x???2???21??x1??0????u ????3??x2??1?式中，u(t)为t = 0时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t)=1(t)。
[解] 对该系统
?0A????2At1??3???0?B???
?1? 状态转移矩阵?(t)?e已在例2.1中求得，即
?(t)?eAt?2e?t?e?2te?t?e?2t??? ?t?2t?t?2t??e?2e????2e?2e?e?(t??)?e?2(t??)?e?(t??)??0?1(t)d?
?2(t??)???1?2e????因此，系统对单位阶跃输入的响应为：
?2e?(t??)?e?2(t??)x(t)?ex(0)????(t??)o?2e?2(t??)???2eAtt或
1?1??t?2te?t?e?2t??x1(0)???e?t?e?2t??x1(t)??2e?e ?22?x(t)?????t?2t?t?2t?????e?2e???2e?2e??x2(0)?e?t?e?2t?2??????
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