第三章 微分中值定理与导数的应用
一、选择题
1、设 f(x0)?0 ，f?(x0)?0 ，f??(x0) 存在 ，且 f??(x0)?f(x0)??1, 则（ ）
(A)x0是f(x)的极大值点 (B)x0是f(x)的极小值点 (C)x0不是f(x)的极值点 (D)不能断定x0是否为极值点
2、函数 y?f(x) 在点 x?x0 处连续且取得极大值，则 f(x) 在 x0 处必有（ ）
(A) f'(x0)?0 (B) f??(x0)?0 (C) f(x0)?0 且 f??(x0)?0 (D) f'(x0)?0 或不存在 3、y?xe?x 的凸区间是（ ）
(A) (?? , 2) (B) (?? , ?2) (C) (2 , ??) (D) (?2 , ??)
4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）
sinx (A)f(x)? (B)f(x)?(x?1)2 (C)f(x)?x 3 (D)f(x)?x2?1
x25、设f (x) 和g (x) 都在x=a处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、使函数 y?3 x2(1?x2) 满足罗尔定理的区间是（ ）
(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) [?7、y?x e? 2 x的凹区间是（ ）
??) (D) (?1 ，??) (A)(??,2) (B) (??,?2) (C) (1 ，34,] 5 5 8、函数f(x)在x?x0 处连续，若x0为f(x)的极值点，则必有（ ） ． (A)f?(x0)?0 (B)f?(x0)?0 (C)f?(x0)?0或f?(x0)不存在 (D)f?(x0)不存在 9、当a= ( ) 时，f(x)?asinx? sin3x ? 在 x ? 处取到极值（ ） 33?(A) 1 (B) 2 (C) (D) 0
3 10、使函数 f(x)?3 x2(1?x2) 适合罗尔定理条件的区间是（ ）
(A) [0,1] (B) [?1,1] (C) [?2,2] (D) [?11、若 ?x0，f(x0)? 为连续曲线 y?f(x) 上的凹弧与凸弧分界点，则（ ）
34,] 5 5 - 1 -
(A) (x0，f(x0)) 必为曲线的拐点 (B) (x0，f(x0)) 必定为曲线的驻点
(C) x0 为 f(x) 的极值点 (D) x0 必定不是 f(x) 的极值二、填空题 1、曲线y x2? ?e8的凸区间是__________________．
2、函数 y?x 2x 的极小值点是______________．
ex3、曲线 y? 的凸区间为 _____________________ ．
3?x 4、函数（fx）＝x3?x在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点?＝ ． 5、设曲线y＝ax3?bx2以点（1，3）为拐点，则数组（a，b）＝ ． 6、函数y?x3?3x?1在区间 [?2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ． 7、函数 y?lnsinx在 [
? 5? , ] 上的罗尔中值点?= ． 6 68、y? x ?1在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、函数 y?x 2x 的极小值点是______________． 10、函数 y?x?2x 的极小值点是______________。 11、y＝x＋ 1?x ，－5?x?1 的最小值为 ． 12、y?x?x 的单调减区间是 ． 13、y?x?arctan x 在且仅在区间______________上单调増． 14、函数f(x)＝x＋2cosx在区间 [ 0 ,
?] 上的最大值为 ． 2 15、函数y＝2x3?x2?4x?3 的单调减少区间是 ．
16、已知点（1，3）是曲线 y?ax3?bx2 的拐点，则a= ，b= ． 17、f(x)?2 ex?e?x 的单调递减区间为 . 三、计算题
1、求函数。 y?x3?6x2?9x?4 的极值和单调区间2、求极限 lim(x?11x?)． lnx x?1 3、求函数y＝2x3?x2?4x?3的单调区间、凹凸区间、拐点．
- 2 -
4、设常数k?0，试判别函数f(x)?lnx?5、求函数 y?x3?6．lim( x?0x?k在?0,???内零点的个数． e32x?6x?10 的单调区间和极值．。 211 ? x )． x e - 1 7．求函数． y? 5?4x 在 ??1 , 1? 上的最大值与最小值8．求曲线y?lnx的单调区间和凹凸区间.． x9. 求曲线y?2x3?x2?4x?3的单调区间和凹凸区间. 10．求函数 y?xe?x 图形的凹凸区间及拐点．
x?t2 11、求曲线 { 的拐点. 3 y?3t?t12、求函数 y ? x3?6x2?9x?4 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点． 13、求函数． y?2x3?6x2?18x?27 在 ?1，4? 上的最大值、最小值14、讨论函数 f(x)?ln (1?x2) 的单调性和凹凸性15、讨论函数 f(x)? lnx 的单调性和凹凸性． x16、 求曲线 y?ln(1?x2)的凹凸区间和拐点．
17. 求函数y?x?8x?2在区间[?1,3]上的最大值与最小值． 18. 求函数 y?x342?3x?1 在区间 [-2，0]上的最大值和最小值．
19. 试确定常数a、b 、c 的值，使曲线 y?x3?ax2?bx?c 在x= 2处取到极值，且与直线 y??3x?3 相切于点（1 ，0）．
四. 综合题(第1-2题每题6分，第3题8分，总计20分)
?1．证明：当x?(0,)时，x?(sinx)(cosx) ．
2 1?xln (x? 1?x2 )? 1?x2 ． 2、当 x?0 时，3、证明： arctanx?arccotx??2．
4、设 ? (x) 在 [0,1] 上可导，f(x)＝(x－1)? (x)，求证：存在x0?(0，1)，使f ’(x0)?? (0)． 5、 试用拉格朗日中值定理证明：当 a?b?0 时，
a?baa?b?ln? ． abb- 3 -
6、 证明：当x?0时，ln(1?x)?arctanx1?x．
7、 证明：当 x?0 时, x 1 ?x?ln(1?x)?x． 8、证明：当x>0时，有 1+
1 2 x? 1?x ． 9、证明当 x?0 时，x? x36?sinx．
10、 证明：若x? 0 ，则 l n ( 1?x ) ? x 1?x ． x211、证明：当 x?1 时，x?2?ln(1?x) 12、证明：多项式
f(x)?x3?3x?1在 [ 0，1 ] 内不可能有两个零点．
13、证明当 x?1 时， 2 x ?3?1 x . 14、证明：当 0?x??2 时 x?sinxcosx
第三章答案
一、选择
1、A 2、D 3、A 4、D 5、D 6、B 7、A 8、C 9、B 10、A 二、填空 1、[?2,2]
2、x??1ln2 3、???,?3????3,?2? 4、2
5、??39???2,2??
6、2,1
7、?2
- 4 -
、A 11
8、1?
3 219、ln2
?
10、?
1 ln2
11、?5?6 12、x?1 413、-14
?14、?3
6215、在（?1，）上单调递减
316、?39, 221（??，?ln2) 17、
2三、计算题
1、解：令y??3x2?12x?9?3(x?3)(x?1)?0,可得驻点：x1?1,x2?3 ……2分 列表可得
函数的单调递增区间为(??,1)(3,??)，单调递减区间为(1,3) ……5分 极大值为y|x?1?0,极小值y|x?3??4 ……7分
2、解：原式 ＝limx?1x?1?xlnx?lnx?xlnx1?lim?lim?? ……6分 x?11x?1lnx?x?1(x?1)lnx2lnx?1?x
3、解：令y??6x2?2x?4?2(3x?2)(x?1)?0,可得驻点：x1??1,x2? 列表可得
22函数的单调递增区间为(??,?1)(,??)，单调递减区间为(?1,) ……4分
332 ……2分 3- 5 -