排队论在实际中的应用
?dPn(t) …………(1) ??Pn?1(t)??Pn?1(t)?(???)Pn(t)??dt所以 ??dP0(t)??P(t)??P(t)10 …………(2) ??dt
稳态时，Pn(t)与时间无关，可以写成Pn， 它对时间的导数为0，所以由(1)、(2)两式得：
?Pn?1??Pn?1??????Pn?0 ……………(3)
??P0??P1?0 ……………(4)
上式即为关于Pn的差分方程。由此可得该排队系统的状态转移图：
?|0ì|1?|ì|2?|ì|?|?|n-1ì|n?|ì|n+1ì|?|
... ...′×ì?×a?í?ì|这种系统状态(n)随时间变化的过程就是生灭过程,它可以描述细菌的生灭过程。
???得到： Pn???P0??nP0 ………………(5)
???n ?????1 (否则排队无限远，无法服务完)
P0?1??? ?nP?1??????n? ………………(6)
上式就是系统稳态概率，以它为基础可以算出系统的运行指标。 2. 系统的运行指标计算
(1) 系统中的平均顾客数（队长期望值Ls）：
?? Ls??n?0n?Pn??n?0n??1?????n??1??????? (0<ρ<1) ……(7)
(2) 队列中等待的平均顾客数Lq（队列长期望值）：
?? Lq???n?1??Pnn?1???n?1???1????n?1n?Ls????21???????? ……(8)
(3) 顾客在系统中的平均逗留时间Ws：
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排队论在实际中的应用
Ws???w??1??? ?Ls??Ws?
(4)顾客在队列中的等待时间的期望值Wq： Wq?Ws?1?1?1?????????? ?Lq??Wq?
3. 系统的忙期与闲期：
系统处于空闲状态的概率：P0?1??
系统处于繁忙状态的概率：P?N?0??1?P0??
2.2实例
2.2.1 问题提出与模型说明
问题提出
顾客排队等待接受服务，在任何一个服务系统中都是不可避免的。在存取款机排队等待取钱或存钱的排队问题也非常严重，为此, 这里拟用排队论的理论和方法, 建立评价指标,通过实例来探究如何提高工作效率？如何使系统更加优化？
模型说明
某街道口只有一个自动存取款机，从而该种情况是单列单服务台的情况，即为M/M/1模型的情况。 2.2.2 调查方法及数据处理
调查内容
（1）顾客到达时间。（2）服务时间。 调查方法
顾客到达的频率与时间段有关，一般在9：00—lO：30和下午2：3O一4：00顾客到达率比其它的时间高。我们把时间分成两段，考虑08：00—9：00、9：OO一1O：00的情况，分别代表了一般情况和繁忙时的情况。
（1）服务时间：顾客开始用自动存取款机到服务完成。 （2）顾客到达时间：顾客进入排队系统排队。
以上两项调查，抽样的时间均是分散的、随机的。不可连续和集中抽样。 具体数据如下：
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排队论在实际中的应用
其中，顾客编号i，到达时间Ti，服务时间Si，到达间隔ti，排队等待时间wi。
表1 08：00—9：00的统计
Ti 1 0 3 2 0 2 2 2 3 1 3 8 5 4 0 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 19 25 29 34 42 49 54 60 7 7 1 3 6 1 1 4 0
表2 09：00—10：00的统计
6 5 0 2 8 1 4 7 0 2 5 0 9 6 0 4 3 Si ti wi Ti 1 0 3 2 0 2 2 2 4 1 3 6 4 3 0 4 5 9 11 7 2 3 4 2 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 15 19 22 28 36 41 45 48 50 56 60 3 4 5 3 3 4 2 6 4 5 8 0 1 5 0 6 4 0 5 3 2 4 2 4 3 6 6 2 4 3 5 1 Si ti wi 2.2.3模型求解
1、根据表1计算得：
平均时间间隔为60?11?5.45?分钟人? 平均到达率为12?60=0.2?人分钟? 平均服务时间为48?12=4.00?分钟人? 平均服务率为12?48=0.25?人分钟? 2、根据表2计算得：
平均时间间隔为60?17?3.53?分钟人? 平均到达率为16?60=0.27?人分钟? 平均服务时间为57?16=3.56?分钟人?
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排队论在实际中的应用
平均服务率为16?57=0.25?人分钟?
把以上两表结合起来为表3，分析服务时间的分布规律，求出均值和方差。
表3 服务时间和频数
服务时间X 频率P 服务时间的期望值为：
??X??X?p??2?2?2?7?3?6?4?4?5?4?6?2?7?2?9?1??28?3.82
1 2 2 7 3 6 4 4 5 4 6 2 7 2 9 1 服务率期望值：
??28??2?2?2?7?3?6?4?4?5?4?6?2?7?2?9?1??0.26
2.2.4 讨论
理论上讲，顾客到达会形成泊松流，因为：(1)在不相重叠的时间内顾客到达数是相互独立的，即无后效性；(2)对于充分小的时间区间内有一个顾客到达的概率与时刻无关，而与区问长成正比；在我们把时问段分开之后来分析，这一点也是满足的；(3)对于充分小的时间区间，有2个或2个以上顾客到达的概率极小。顾客到达满足以上三个条件，形成泊松流；所以顾客到达率服从负指数分布。而服务时问可看作服从正态分布。然而在统计数据比较少的情况下，并不能得出一一般规律，来精确的算出参数 (到达率)和(服务率)。本文对此问题只做简单的分析。
从表1中可以看出，在8：00—9：00时间区问内，有l2个顾客到达，其中有5个顾客必须等待，平均等待Wq??1?1?1?1+3??12?0.58?分钟?。
2中可以得
出，在9：00—10：00时间区间内，有16个顾客到达，有11个顾客必须等待，平均等待时间：Wq??1?2?6?5?4+4+2+4+6+3+1??16?2.375?分钟?。
根据以上分析，在8：00—9：00时间区间内，顾客平均到达率0.2人分钟，平均服务率是0.25人分钟，在9：00— 1O：00时问区问内分别为0.27人分钟和
0.28人分钟。可以看出，平均服务律是高于平均到达率的。但是，通过表3的数据分
析，在8：00—1O：OO时间区间内平均服务率为0.26人分钟，由于表3中的数据量比较大，所以更具有代表性。如果这样分析，平均服务率就小于9：00—1O：OO的顾客平均
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排队论在实际中的应用
到达率0．27，这样就会使排队越来越长而直到高峰期过后才能得到缓解。我们认为在这个系统中，当平均等待时间超过1分钟，系统被视为效率低下，而低于1分钟被视为系统有闲置。通过以上分析，在9：00—10：00时间区间内，等待问题比较严重，而在8；00—9：00系统有闲置现象。现实(?为很小的数)。
?1??,1???内很难
2.3 M\\M\\1模型中的最优服务率问题
已知有设进入系统的顾客单位时间带来的损失为c1,单位时间服务台每服务一位顾客的服务成本为c2,则单位时间总费用的期望值为：
C(?)?c1L(?)?c2??????c1??c2
由
dCd?dCd?22?c2??c1(???)2?0 解得：?????c1c2 由
?2?c1(???)3?0 及 ???/??1
最优服务率为??????c1c2 最优服务率??随着进入系统的顾客数?和损失费c1的增加而增加,随着服务成本
c2的增加而减小。
某生产厂家有多台机器,每台机器连续运转的时间服从指数分布,平均为1小时,每台故障机器的损失费为3200元/小时.有1个维修工人,每次维修时间服从指数分布, 每台故障机器的修理费用为100元/小时,求最优的每台机器维修时间。
由题意知： 最优服务率为： ??????c1c2?1?32002?100?5(台/小时)
即最优的机器维修时间为：
1?15?0.2小时?12分钟
?
?10