排队论在实际中的应用
第三章 中式快餐店排队系统的优化
3.1 理论分析
当系统容量最大为N时，排队系统中多于N个的顾客将被拒绝。当N=1时，即为瞬时制；N→∞时，即为容量无限制的情况。
排队系统 服务台 顾客 N … 4 3 2 1 被拒绝 现在研究系统中有n个顾客的概率Pn?t?. 对于P0?t?，前面的式子仍然成立，当n=1,2,…N-1时，也仍能成立。
但当n=N时，有下面两种情况：
时刻t情况 的顾客 A B N N-1 无离去（肯定不到达） 一人到达（无离去） 区间[t, t+Δt] 的顾客数 N N PN(t)·(1-μΔt) PN-1(t)·λΔt 时刻t+Δt概率 PN(t??t)?PN(t)?(1???t)?PN?1(t)??tdPN(t)dt???PN(t)??PN?1(t)
其状态转移图为:
?|?|1ì|2?|ì|?|?|n-1ì|n?|ì|n+1ì|?|
?|?|ì|ì|N0ì|... ...ì|... ...N-1′×ì?×a?í?在稳态情况下有：
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排队论在实际中的应用
??P0??P1?0????Pn?1??Pn?1?(???)Pn?0 ???PN??PN?1?0?1???P??01??N?1?解得 ： ???P?1???nnN?1?1??? (ρ≠1,n≤N)
下面计算其运行指标： (1) 平均队长Ls：
NNLs??n?0n?Pn??1??n?01??N?1???nn
(N?1)??1??N?1 ?1??1??N?1N?n?0n??n ??1???N?1 (ρ≠1)
（2）队列长（期望值）：
NLq??(n?1)Pn?1n?Ls?(1?P0)
当研究顾客在系统平均逗留时间和在队列中平均等待时间，要注意平均到达率? 是在系统中有空时的平均到达率，当系统已满是则到达率为0，因此可以验证：有效到达率 ?e??(1?P0)。
（3）顾客逗留时间（期望值）：
ws?Ls?Lq?1?(1?P0)?(1?PN)?
（4）顾客等待时间（期望值）：
wq?ws?1?
3.2 实例
3.2.1 问题提出与模型分析
问题提出
随着经济水平的提高,外出用餐的人越来越多,由于服务生产与消费的同步性、服务的不可储藏性,以及顾客到达的随机性,让顾客进行排队等待是不可避免的。文中以
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排队论在实际中的应用
学校附近一个中式快餐店为例,针对其周末晚上人满为患的现象并结合工作日的客流状况对其排队系统进行研究,进而提出优化策略。
模型分析
本文中小型饭店的排队模型是单队单服务台模型，即为M/M/1模型。由于快餐店容量有限为7桌，所以其排队模型M/M/1/K/FCFS(K=7),为单服务台模型：顾客的相继到达时间服从参数为?的的负指数分布(顾客到达过程为Poisson 流)，服务时间服从参数为μ的负指数分布,服务台数为1，系统空间为K，客源容量无限,实行先到先服务的排队规则。
3.2.2数据调查与模型求解
调查方法：
对该中式快餐店客流量进行连续一周人工调查统计,由于其主要客源是学生,所以分别调查周末和工作日两种情况下的客流量变化。对每晚（客流高峰期）两小时的顾客数进行调查记录。
数据处理：
根据调查数据可以得出：
平均到达率??周末??3?人小时? ??工作日?=2?人小时?
根据统计服务员对每位顾客的服务时间可得该中式快餐店的平均服务率为：
?=4?人小时?
通过计算可以得出： 1、周末的服务指标 服务强度?=??=34=?0.78
没有顾客的概率P0?1?31?348?4???0.2778
系统中的平均顾客数Ls?1????N?1??N?11??N?1?2.11?人?
队列中等待的平均顾客数Lq?Ls??1?P0??1.39?人?
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排队论在实际中的应用
系统中顾客逗留时间的期望值Ws?Ls??1?P0?1?0.73?小时?=43.8?分钟?
在队列中排队等待时间的期望Wq?Ws?2、工作日的服务指标 服务强度?=??=24=0.5
??0.73?0.24?0.49?小时?=29.4?分钟?
没有顾客的概率P0?1?21?248?4??0.5
系统中的平均顾客数Ls??1????N?1??N?11??N?1?0.87?人?
队列中等待的平均顾客数Lq?Ls??1?P0??0.37?人? 系统中顾客逗留时间的期望值Ws?Ls?0.44?小时?=20.4?分钟?
??1?P0?1在队列中排队等待时间的期望Wq?Ws?3.2.3讨论
??0.44?0.24?0.2?小时??12?分钟?
一般情况下,顾客等待10—15分钟是可以忍耐的，上述情况下顾客在周末的等待时间为29.4分钟，这很容易造成顾客的不满。下面我们将从两个角度对该快餐店排队系统进行优化：
（1） 服务效率的提高
中式饭店的服务流程包含很多细节,内容也非常广泛。如果我们认真对其流程进行调查研究,找出服务的潜在失败点和等待点并着手进行流程优化设计,就能大大提高服务效率。通过观察并进行对比发现该快餐店服务效率??4存在问题，仍可提高。该饭店也通过引进标准化设备并对服务人员进行培训以实行标准化流程的规范操作,带来效率和品质的提升。服务效率的提高必然会使顾客排队等待的时间降低，这里不再作定量的分析。
（2） 在忙期适当的增加桌子
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排队论在实际中的应用
这也是排队系统的常规优化方案设计。在上例的分析中我们看到在周末排队等候的队列较长，等待时间也较长，这不但会使顾客产生不满，而且一些顾客由于不愿等待如此长的时间而离开，从而使饭店蒙受损失，适当的增加桌子会使队长和等待时间都有所增加。
第四章 排队论在门诊注射室管理中的应用
4.1 理论分析
标准的[M/M/C]模型与标准的[M/M/1]模型的各特征规定相同，另外，各服务台工作是相互独立且平均服务率相同，即μ1=μ2=μ3=…=μc=μ，于是整个服务机构的平均服务率为：cμ(n≥c时) ，nμ(n 令???c? ，只有当 ?c??1时，才不会形成无限队列。 ?1?2 ...队列 C个服务台 ??3 ?n 从下图的队列图，分析系统中的状态转移关系，状态转移图见下图。 0μλ1λ λ λn-1nμn(n+1)μ λn+1 λ λn-1cμn>cncμλn+1... ...2μn ?P??P???(n?1)?Pn?1??Pn?1?(n???)?Pn (1≤n≤c) (n>c) ?c?P??P?(c???)?Pn?1n?1n??这里：?Pi?1 ，ρ≤ 1 i?0 15