（3）F(bK,bL)=bF(K,L)
答：如果生产函数Q=?(L,K)满足?(?L,?K)=??(L,K)，则当n>1时，Q=?(L,K)具有规模报酬递增的性质；当n=1时，Q=?(L,K)具有规模报酬不变的性质；当n<1时，Q=?(L,K)具有规模报酬递减性质。
（1）F?(?K,?L)=(?K)
2
2
n
?L=?3
KL=?F(K,L)
2
3
n=3>1,所以F(K,L)=KL呈规模报酬递增。
（2）F?(?K,?L)=?K+2?L=?（K+2L）=?F(K,L) n=1，所以F(K,L)=K+2L呈规模报酬不变。 （3）F(?bK,?bL)=
?bF(K,L)=?1/2F(bK,bL)
12、简要说明规模报酬的含义及原因。
答：（1）规模报酬指企业的生产规模变化与所引起的产量变化之间的关系。企业只有在长期内才能变动全部生产要素，进而变动生产规模，因此，企业的规模报酬分析属于长期生产理论问题。在生产理论中，通常是以全部的生产要素都以相同的比例发生变化来定义企业规模的变化。相应地，规模报酬变化是指在其它条件不变的情况下，企业内部各种生产要素按相同比例变化时所带来的产量的变化。企业的规模报酬变化可以分为规模报酬递增、规模报酬不变和规模报酬递减三种情况：规模报酬递增是指产量增加的比例大于各种生产要素增加的比例；规模报酬不变是指产量增加的比例等于各种生产要素增加的比例；规模报酬递减是指产量增加的比例小于各种生产要素增加的比例。 （2）规模报酬变动的主要原因是内在经济和内在不经济、外在经济和外在不经济。 13、简述规模报酬与规模经济的区别。
答：规模经济（economiesofscale）是指由于生产规模扩大而导致长期平均成本下降的情
况。规模经济与规模报酬不是同一概念。规模报酬是所有要素投入都扩大相同的倍数所引起的产出的变化情况，所涉及的是投入与产出的关系。规模经济涉及规模大小与成本关系。不过规模报酬递增是产生规模经济的原因之一。
五、计算题
1、已知生产函数为Q=f(K，L)=，表示产量，K表示资本，L表示劳动。令上式的K=10。
（1）写出劳动的平均产量函数和边际产量函数。
（2）分别计算当总产量、平均产量和边际产量达到最大值时厂商雇佣的劳动数量。 解：对于生产函数Q=f(K，L)=令K=10，则：Q=（1）劳动的平均产量函数为APP=Q/L=(-32+/L
劳动的边际产量函数为MPP=dQ/dL=10-L
(2)对于总产量函数Q==-32+
若求总产量最大值，只要令其边际产量为零 即10-L=0 求得L=10 又由于
L
L
dQdQ()??1<0 dLdL所以，L=10为极大值点
即当产量达到极大值时厂商雇佣的劳动为10。 同样对于平均产量函数APP=Q/L=(-32+/L
L
令
dAPPL?0即+32/L2
dL可得L=8
因此，当平均产量为最大值时厂商雇佣的劳动为8。 对于劳动的边际产量MPPL=10-L
由于MPPL为负向倾斜的直线，而且劳动L不可能小于零 故当L=0时，MPPL有极大值10，
也就是说，当边际产量达到极大值时厂商雇佣的劳动为0。 2、设某厂商品总产量函数为：TP=72L+15L-L。求： （1）当L=7时，边际产量MP是多少？
（2）L的投入量为多大时，边际产量MP将开始递减？ 解：（1）因为TP=72L+15L-L，对TP求导便可得MP=72+30L-3L所以，当L=7时，MP=72+30×7-3×7=135 （2）对于边际产量函数MP=72+30L-3L 令
22
2
3
2
2
3
dMP?0则30-6L=0 dL可得L=5
由此可知，当L的投入量为5时，边际产量将开始递减。 3、已知某厂商的生产函数为Q=L
3/8
K
5/8
，又设PL=3元，PK=5元。
（a）求产量Q=10时的最低成本支出和使用的L和K的数量。 （b）求产量Q=25时的最低成本支出和使用的L和K的数量。 （c）求总成本为160元使厂商均衡的Q、L和K的数量。 解：根据厂商均衡条件MPPL/MPPK=PL/PK可求解得： （a）由已知，成本方程为：TC=3L+5K 则minTC=3L+5K
3/8
K
3/85/8
5/8
设拉格朗日函数为 X=3L+5K+λ(10-LK)(1)
对（1）式分别求L、K及λ的偏导数并令其为零，则得
?X3?3??K5/8L?5/8?0???8K?5/8L5/8（2） ?L8?X5?5??L3/8K?3/8?0???8K3/8L?3/8（3） ?K8?X?10?L3/8K5/8?0???L3/8K5/8?10（4） ??由（2）÷（3），得
8K?5/8L5/8?1?K?1L?K?L（5） 3/8?3/88KL将（5）式代入（4）式求得 K=L=10
minTC=3K+5L=30+50=80
所以，当产量Q=10时的最低成本支出为80元，使用的L与K的数量均为10。
（b）求既定产量下的最低成本支出和投入生产要素组合除了用（a）题所示的方法求解外，还可以
根据MPPL/MPPK=PL/PK的厂商均衡条件来求解。
对于生产函数Q=L
3/8
K
5/8
则MPPL=3/8LMPPK=5/8L
-5/8
K
5/8
3/8
K
-3/8
由厂商的均衡条件MPPL/MPPK=PL/PK
3/8K5/8L?5/83??K?L 得
55/8L3/8K?3/8代入当产量Q=25的生产函数=L求得K=L=25
由于minTC=3L=5K=75+125=200
所以，当产量Q=25时的最低成本支出为200元，使用的L与K的数量均为25。 （c）花费给定成本使产量最大化的厂商均衡条件为：
MPPL/MPPK=PL/PK 对于生产函数Q=L
3/8
3/8
K
5/8
=25
K
5/8
MPPL=3/8KLMPPK=5/8LK
5/8-5/8
3/8-3/8
3/8K5/8L?5/83??K?L 则3/8?3/855/8LK代入总成本为160元的成本函数3L+5K=160 求得K=L=20 则Q=L
3/8
K
5/8
=2020=20
3/85/8
所以，当成本为160元时厂商的均衡产量为20，使用的L与K的数量均为20。 4、已知生产函数为Q=min（L，2K）。
（1）如果产量Q=20单位，则L和K分别为多少？
（2）如果L和K的价格为（1，1），则生产10个单位产量的最小成本是多少？ 解：（1）对于定比函数Q=min(L，K)有如下关系式： Q=L=2K因为，Q=20，所以，L=20，K=10。 （2）由Q=L=2K，Q=10得 L=10，K=5
又因为PL=PK=1所以，TC=15。
5、已知厂商的生产函数为：①Q=KL②Q=KL③Q=min(3L，4K)。 请分别求：（1）厂商的长期生产扩展线函数； （2）当w=1，r=4，Q=10时使成本最小的投入组合。
解：（1）根据厂商均衡条件，MPPL/MPPK=w/r，可求得厂商的长期扩展线函数分别为： ①K=w/rL②K=2w/rL③K=4/3L
（2）当w=1，r=4，Q=10时使成本最小的投入组合分别为：
1/2
1/2
2
①L=5K=5/4②L=40K=5③L=5/2K=10/3
1/31/3
六、分析题
1、用图说明短期生产函数Q=f（L，K0）的总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线的特征及
其相互关系。
答：通常将总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲 线置于同一张坐标图中来分析总产量、平均产量和边 际产量相互之间的关系。
右图就是这样一张标准的一种可变生产要素投入 的生产要素的生产函数的产量曲线图，它反映了短期生 产过程中的有关产量相互之间的关系。
在图中可以清楚的看到，由边际报酬递减规律 决定的劳动的边际产量MPL曲线先是上升的，并在B 点时达到最高点，然后再下降。由短期生产的这一基本
特征出发，我们利用上图从以下三个方面分析总产量、平均产量和边际产量相互之间的关系。
第一，关于边际产量和总产量之间的关系。根据边际产量的定义公式：
可以推知，边际产量是总产量的一阶导数值。TPL线上任何一点的切线的斜率就是相应的MPL值。例如，在图中当劳动投入量为L1时，过TPL曲线上A点的切线斜率，就是相应的MPL的值，它等于L1的高度。
正是由于每一个劳动投入量上的边际产量MPL值就是相应的总产量TPL曲线的斜率，所以在图中MPL曲线和TPL曲线之间存在这样的对应关系：在劳动者投入量小于L4的区域，MPL均为正值，则相应的TPL曲线的斜率为正，即TPL曲线是上升的；在劳动投入量大于L4的区域，MPL均为负值，则相应的TPL曲线的斜率为负。即TPL曲线是下降的。当劳动投入量恰好为L4时，MPL为零值，则相应的TPL曲线的斜率为零，即TPL曲线达到极大值点。也就是说，MPL曲线的零值点D和TPL曲线的最大值点D，是相互对应的。以上这种关系可以简单表述为：只要边际产量是正值时，总产量总是增加的。如果边际产量是负值时，总产量总是减少的。当边际产量为零的，总产量达最大值点。
进一步地，由于在边际报酬递增减规律作用下的边际产量MPL曲线先上升，在B'点达到最大值，然后再下降。所以，相应的总产量TPL曲线的斜率先是递增的，在B点达到拐点，然后是递减的。也就是说，MPL曲线的最大值点B'和TPL曲线的拐点B相互对应的。
第二，关于平均产量和总产量之间的关系。根据平均产量的定义公式可以推知，连结TPL曲线上任何一点和坐标原点的线段斜率就是相应的APL
值。例如，在图中，当劳动投入量为L1时，连结TPL曲线上A点和坐标原点的线段