第十讲 图形的剪拼(二)
类似棋盘图形的剪拼问题更需要我们认真的思考、周密的分析,虽然有的问题难
度较大,但通过我们的探索,还是能寻找到规律性的.
例1 如右图所示,请将这个正方形分切成两块,使得两块的形状、大小都相同,并且每一块都含有A、B、C、D、E五个字母.
分析 图中有相同字母挨在一起的情况,肯定要从它们之间切开,因此,首先要在它们之间划出切分线.因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形,所以其中一块绕中心点旋转180°必定与另一块重合.要是把切分线也绕中心点旋转180°就可得到一些新的切分线.这就为我们解决问题提供了线索,本题的两种解法如下图所示.
例2 如右图所示.请将这个正方形切成四块,使得它们彼此之间的形状和大小都相同,而且每块当中都含有A、B、C、D四个字母.
分析 先将图中两个相同字母挨在一起的之间划出切分线.因为要把正方形切成形状大小完全相同的四块,其中一块绕中心点旋转90°、180°、270°之后必定分别和另外三块重合.那么画出的切分线在绕中心旋转90°、180°、270°之后得到一些新的切分线,从而为我们解决问题提供了线索.
块里都应包含有四个小正方形.本题解答如右图所示.
例3 如右图所示的正方形是由36个小正方格组成的.如图那样放着4颗黑子,4颗白子,现在要把它切割成形状、大小都相同的四块,并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子.试问如何切割?
分析 首先在相同颜色的棋子之间划出切分线,以中心旋转90°、180°、270°之后,得一些新的切分线,同时考虑到每块包含有一颗黑子和一
找到了符合要求的其中一块之后,让它绕中心旋转90°、180°、270°便得到其他三块,如右图.
例4 如下页图,甲、乙是两个大小一样的正方形.要求把每一个正方形分成四块,两个正方形共分为八块,使每块的大小和形状都相同,而且都带一个○.
分析 一个正方形分成大小和形状都相同的四块,一定是从中心点分开的,只要能找出其中符合题目要求的一块,然后再将这块绕着正方形的中心点分别旋转90°、180°、270°就可以得到另外三块.又因为这个正方形面积为36平方单位,所以分成的每一块的面积都是9平方单位.即每一块都由9个小正方格组成.另外,由于两个正方形要切分成一样大小的四块,因此可将两个正方形重叠在一起考虑.
解:①将两个正方形重叠在一起,如右图所示,为便于区别,将其中一组的“○”改写成“×”.按要求将这重叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块,并且每块都有一个“○”和“×”.
②图中有相同符号的“○”挨在一起的从中间把它们切开,在它们中间划上截线.并将这些截线绕中心点旋转90°、180°、270°得到另外三段截线.如右图.利用它们设想出划分线.
③设想分块从中心位置开始,逐步向外扩散,在里层方格中,先指定某一方格已分入到某小块中,并作上记号(斜线阴影),然后将它绕中心旋转180°后得到另一方格分入到另一小块中,也作上记号(横线阴影),如右图.
对于中间一层方格和最外一层方格,设想分块时一定要紧扣条件:每一块中都要有一个“○”和一个“×”.每一块都有9个方格组成,不能断开.下图是分解了的分块过程示意图.
④注意到斜线阴影部分已经有了一个“○”和一个“×”.那么左下角包含“○”的方格就不能再分到斜线阴影部分去了,而只能将右下角的方格分到斜线阴影部分.于是左上角的方格就应该分给横线阴影部分.空白部分是另外两块.右图就是最后分得的结果.
例5 如右图所示,请将这个正方形分成大小和形状都一样的四块,并且使每一块都有A、B、C、D四个字母.
分析 这个正方形的面积是8×8=64(平方单位),切开后每一小块应是16平方单位(即由16个小方格组成),由于要求分成的四块形状、大小都相同,必定是由中心点分开的.而且其中一块若绕中心点旋转90°、180°、270°后必定和其他三块重合.
解:①将两个相同字母并列在一起的中间划出切分线,并将它们分别绕中心点旋转90°、180°、270°,得到相应的另三段切分线.如下左图所示.
②从最里层开始,沿着画出的切分线作设想分块,注意到题目的要求,找到满足要求题目的一块,如下右图中阴影部分
③将上面的阴影部分绕中心点旋转180°,可以得到符合条件的另一块,这样两块空白部分也符合条件,最后划分的结果如右图所示.
例6 如下图长方形的长、宽分别为120厘米、90厘米,正中央开有小长方形孔,长为80厘米,宽为10厘米,要拼成面积为100平方厘米的正方形.问如何切分,能使划分的块数最少.
分析 切分前面积为12×90-80×10=10000(平方厘米)应与拼成后的正方形面积相等.拼成后正方形的边长x=100厘米.因为:100=120-20=90+1O.假设上页图切成两块如下左图,然后将右块向上平移10厘米,再向左平移20厘米,就拼成了一个正方形,切分线不可能是直线,一定是折线段.切分后的两块类似阶梯形,然后由两个阶梯互相啮合,组成一个正方形,如下右图.
习题十
1.把右图划分成形状、大小完全相同的4块,而且每块中有一个字母.
2.将下图中的各图分别切成大小、形状相同的三块,使每块都带有一个小圆圈
“○”.
3.将右图分成4块,使它们的形状、大小都相同并且每块内都有一个小圆圈“○”
4.如下图有两个正方形,请把每一个正方形分成两块,两个正方形共四块,使这四块的形状、大小都相同,并且每一块中都有A、B、C、D四个字母.
第十一讲格点与面积
请看下图,这是两个画在方格纸中的多边形,图(a)的多边形的所有顶点都在方
格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图(b)中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.(比如A点)像图(a)这样的多边形,我们称它为格点多边形.什么是格点?平常我们用的方格纸的方格(每个小方格都是一个小正方形)都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的,其中相邻两条平行线的距离都是相等的(通常规定是1个单位),在这样的方格纸上,横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点,但我们还不能把它称为格点多边形.
显然易见,格点多边形面积的大小,与格点数目(包括边界上的)的多少有着密切的关系.一般看来,格点多边形的面积越大(小),它所包含格点数目(包括边界上的)就越多(少).是否存在这两者之间关系的精确的计算公式?通过它只计数格点数目(包括边界上的)的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小?下面让我们共同探索这个规律.
例1 如下图,计算下列各个格点多边形的面积.
分析 本题所给的图形都是规则图形,它们的面积运用公式直接可求,只要判断出相应的有关数据就行了.
解:第(1)图是正方形,边长是4,所以面积是4×4=16(面积单位). 第(2)图是矩形,长是5,宽是3,所以面积是5×3=15(面积单位). 第(3)图是三角形,底是5,高是4,所以面积是5×4÷2=10(面积单位). 第(4)图是平行四边形,底是5,高是3,所以面积是5×3=15(面积单位). 第(5)图是直角梯形,上底是3,下底是5,高是3,所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位).
第(6)图是梯形,上底是3,下底是6,高是4,所以面积是(3+6)×4÷2=18(面积单位).
例2 如下图(a),计算这个格点多边形的面积.
分析 这是个三角形,虽然有三角形面积公式可用,但判断它的底和高却十分困难,只能另想别的办法:这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内,除此之外还有其他三个直角三角形,如下图(b),这三个直角三角形面积很容易求出,再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.
解:矩形面积是6×4=24. 直角三角形I的面积是: 6×2÷2=6.