基本不等式导学案

基本不等式(一)

【学习目标】(1)学会推导并掌握基本不等式ab?a?b2,理解此不等式的几何意义; (2)了解熟悉算术平均数、几何平均数的概念 (3)会应用不等式及其变形求一些简单的最值问题 【课前预习】

如图所示,这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大会上

作为会标。你知道这其中含有哪些数学因素吗?

设小直角三角形的两条直角边为a、b,

则正方形的边长为 ,正方形的面积为 。

四个直角三角形的面积和为 。 4?S三角形?S正方形? < 。

思考:当中间的小正方形面积为0的时候,此时直角三角形是 , (4?S三角形?S正方形) 概念: 一般的,对于任意的实数a,b,我们有 ,当且仅当 时,等号成立.

特别的,如果a?0,b?0 ,我们用a、b分别代替a,b,可得 。我们通常把上式写成

ab?a?b2(a?0,b?0) 第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢?

证明过程: 要证

a?b2?ab ① 只需证 ? ② (同时平方)

要证②只需证 ?0 ③ (右边的项移到左侧)

要证③只需证 (_____?_____)2?0 ④

显然④成立.当且仅当a?b时,等号成立. a,b,

概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数a,b, 且a?0,b?0,

a?b2是a,b的 ,叫做a,b的算术平均数,

ab是叫做a,b的 ,叫做a,b的几何平均数,

由基本不等式可得:a,b的等差中项 a,b的等比中项(?,?),

特别的,当a?b时,a,b的等差中项等于a,b的等比中项。

太阳每天都是新的,你是否每天都在努力?

【预习自测】

习题一:若a?0,则a?1a? 若ab?0,则ab?ba? 思考:

习题二:(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短? 设菜园的长为x,宽为y,则xy? ,篱笆的总长度表示为 , 由

a?b2?ab 可得x?y? , 当等号成立时,所用篱笆最短,此时x?___,y?___.

(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长和宽各是多少面积最大? 设菜园的长为x,宽为y,则x?y? ,篱笆的面积表示为 ,

a?b2?ab可得xy? , 当等号成立时,面积最大,此时x?_____,y?_____.

总结:两个实数a?0,b?0,

若它们的积为定值,则它们的和有最 值,当且仅当a?b成立。 若它们的和为定值,则它们的和有最 值,当且仅当a?b成立。

练习:1 直角三角形的面积为50,两条直角边各为多少时,两直角边的和最小?最小值为多少? 设两边分别为x,y。则xy?_______ x?y

2 用20cm长的历铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折?

3 把36写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小?

今天多一份拼搏、明天多几份欢笑。

4 把18写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大?

基本不等式(二)

一、 自主学习

1.已知x,y都是整数,

(1)若x?y?s(和为定值),则当x?y时,积xy取得 (2)若xy?p(积为定制),则当x?y时,和x?y取得 上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大。

2.设x,y满足x?4y?40,且x,y都是正数,则lgx?lgy的最大值是( ) A.40 B.10 C.4 D.2 3.在下列函数中,最小值为2的是( ) A.y?x?1x B. y?3x?3?x1 C. y?lgx?lgx(1?x?10) D. y?sinx?1sinx(0?x??2) 4. 若x?4,则函数y?x?1x?4( )

A.有最大值-6. B.有最小值6 C有最大值-2 D.有最小值2

5.已知lgx?lgy?1,则52x?y的最小值为__________________

知识拓展 1. 基本不等式的变形:

a?b_____(a?b)2222;(a?b222a?b2)____2;ab___a2?b22;ab___(a?b2)2;(a?b)2____4ab 2. 一般地,对于n个正数a1,a2,?,an(n?2),都有,a1?a2??annn?a1?a2???an(当且仅当a1?a2???an时取等号)

3. a2?b2?c2?ab?ac?bc(a,b,c?R)当且仅当a?b?c时取等号) 巩固练习

1.设x>0,y>0,x+y=1,则使m?x?y恒成立的实数m的最小值是( )

A. 2 B. 2 C.2 D22 2太阳每天都是新的,你是否每天都在努力? ★利用均值不等式求最值时,应注意的问题

①各项均为正数,特别是出现对数式、三角数式等形式时,要认真考虑。 ②求和的最小值需积为定值,求积的最大值需和为定值。 ③确保等号成立。

以上三个条件缺一不可,可概括“一正、二定、三相等”。

二、 学习探究

【题型一】利用不等式求函数的最值

已知x?54,求函数y?4x?2?14x?5的最大值。

变式 已知0

13,求函数y=x(1-3x)的最大值。

【题型二】含条件的最值求法

已知整数x,y满足8x?1y?1,求x+2y的最小值。

变式 :已知x?0,y?0,满足x?2y?1,求

11x?y的最小值.

【题型三】利用不等式解应用题

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2

的造价为150元,池

壁每1m2

的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元? 2.设x,y满足x+4y=40,且想,且x,y?R?,则lgx?lgy的最大值是( ) A.40 B。 10 C。4 D。 2

3.已知正项等差数列?an?的前20项和为100,则a5a16的最大值为( )

A.100 B。75 C。 50 D。 25

4.函数f(x)?xx?1的最大值为 ( ) A

25 B 12 C 2 D 1 25. 设x>0,则y=3-3x-

1x的最大值是 ;函数f(x)=3x+lgx+ 4(0

6. 求f(x)?x2?2x?6x?1(x>-1)的最小值为 8.某单位建造一间背面靠墙的小房,地面面积为12m2,房屋正面每平方米的造价为1200元,房屋侧面每平方米的造价为800元,屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3m,且不计房屋背面和地面的费用,问怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?

太阳每天都是新的,你是否每天都在努力? 今天多一份拼搏、明天多几份欢笑。

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