基本不等式（一）
【学习目标】（1）学会推导并掌握基本不等式ab?a?b2，理解此不等式的几何意义； （2）了解熟悉算术平均数、几何平均数的概念 （3）会应用不等式及其变形求一些简单的最值问题 【课前预习】
如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大会上
作为会标。你知道这其中含有哪些数学因素吗？
设小直角三角形的两条直角边为a、b，
则正方形的边长为 ，正方形的面积为 。
四个直角三角形的面积和为 。 4?S三角形?S正方形? < 。
思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是 , (4?S三角形?S正方形) 概念: 一般的,对于任意的实数a,b,我们有 ，当且仅当 时,等号成立.
特别的,如果a?0,b?0 ,我们用a、b分别代替a,b,可得 。我们通常把上式写成
ab?a?b2(a?0,b?0) 第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢?
证明过程: 要证
a?b2?ab ① 只需证 ? ② (同时平方)
要证②只需证 ?0 ③ (右边的项移到左侧)
要证③只需证 (_____?_____)2?0 ④
显然④成立.当且仅当a?b时,等号成立. a,b,
概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数a,b, 且a?0,b?0,
a?b2是a,b的 ，叫做a,b的算术平均数，
ab是叫做a,b的 ，叫做a,b的几何平均数，
由基本不等式可得：a,b的等差中项 a,b的等比中项（?,?），
特别的，当a?b时，a,b的等差中项等于a,b的等比中项。
太阳每天都是新的，你是否每天都在努力？
【预习自测】
习题一：若a?0，则a?1a? 若ab?0，则ab?ba? 思考：
习题二：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？ 设菜园的长为x，宽为y，则xy? ，篱笆的总长度表示为 ， 由
a?b2?ab 可得x?y? ， 当等号成立时，所用篱笆最短，此时x?___,y?___.
（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？ 设菜园的长为x，宽为y，则x?y? ，篱笆的面积表示为 ，
由
a?b2?ab可得xy? ， 当等号成立时，面积最大，此时x?_____,y?_____.
总结：两个实数a?0,b?0,
若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a?b成立。 若它们的和为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a?b成立。
练习：1 直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多少？ 设两边分别为x,y。则xy?_______ x?y
2 用20cm长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？
3 把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
今天多一份拼搏、明天多几份欢笑。
4 把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
基本不等式（二）
一、 自主学习
1．已知x，y都是整数，
（1）若x?y?s（和为定值），则当x?y时，积xy取得 （2）若xy?p（积为定制），则当x?y时，和x?y取得 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大。
2．设x,y满足x?4y?40，且x,y都是正数，则lgx?lgy的最大值是（ ） A．40 B．10 C．4 D．2 3．在下列函数中，最小值为2的是（ ） A.y?x?1x B. y?3x?3?x1 C. y?lgx?lgx(1?x?10) D. y?sinx?1sinx(0?x??2) 4. 若x?4，则函数y?x?1x?4（ ）
A．有最大值-6． B.有最小值6 C有最大值-2 D.有最小值2
5．已知lgx?lgy?1，则52x?y的最小值为__________________
知识拓展 1. 基本不等式的变形：
a?b_____(a?b)2222；(a?b222a?b2)____2；ab___a2?b22；ab___(a?b2)2；(a?b)2____4ab 2. 一般地，对于n个正数a1,a2,?,an(n?2)，都有，a1?a2??annn?a1?a2???an（当且仅当a1?a2???an时取等号）
3. a2?b2?c2?ab?ac?bc(a,b,c?R)当且仅当a?b?c时取等号） 巩固练习
1．设x>0,y>0,x+y=1,则使m?x?y恒成立的实数m的最小值是（ ）
A. 2 B. 2 C.2 D22 2太阳每天都是新的，你是否每天都在努力？ ★利用均值不等式求最值时，应注意的问题
①各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑。 ②求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值。 ③确保等号成立。
以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”。
二、 学习探究
【题型一】利用不等式求函数的最值
已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
变式 已知0 13，求函数y=x(1-3x)的最大值。 【题型二】含条件的最值求法 已知整数x,y满足8x?1y?1，求x+2y的最小值。 变式 ：已知x?0,y?0，满足x?2y?1，求 11x?y的最小值. 【题型三】利用不等式解应用题 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2 的造价为150元，池 壁每1m2 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 2．设x,y满足x+4y=40,且想，且x,y?R?，则lgx?lgy的最大值是（ ） A．40 B。 10 C。4 D。 2 3．已知正项等差数列?an?的前20项和为100，则a5a16的最大值为（ ） A．100 B。75 C。 50 D。 25 4．函数f(x)?xx?1的最大值为 （ ） A 25 B 12 C 2 D 1 25． 设x>0,则y=3-3x- 1x的最大值是 ；函数f(x)=3x+lgx+ 4(0 6． 求f(x)?x2?2x?6x?1（x>-1）的最小值为 8．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？ 太阳每天都是新的，你是否每天都在努力？ 今天多一份拼搏、明天多几份欢笑。