习题选解
第一章 随机事件及其概率
1.2 设A、B、C表示三个随机事件，试将下列事件用A、B、C表示出来：
（1）仅A发生；
（2）A、B、C都发生； （3）A、B、C都不发生； （4）A、B、C不都发生；
（5）A不发生，且B、C中至少有一事件发生； （6）A、B、C中至少有一事件发生； （7）A、B、C中恰有一事件发生； （8）A、B、C中至少有二事件发生； （9）A、B、C中最多有一事件发生。
解：（1）ABC； （2）ABC； （3）ABC； （4）ABC；
（5）A?(B?C)=ABC； （6）A?B?C=ABC； （7）ABC+ABC+ABC；
（8）ABC+ABC+ABC+ABC 或者 AB?BC?AC；
（9）ABC+ABC+ABC+ABC 或者 AB?BC?AC 或者 AB?BC?AC
1.4 电话号码由7个数字组成，每个数字可以是0,1,2,?9中的任一个数字（但第一个数字不能是0），
求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。
116解：基本事件的总数（即7位电话号码的总数）为N=C9(C10)，而由完全不同的数字组成的电话号
16码的个数为M=C9A9，于是所求概率
16C9Ap=1196 0.0605
C9(C10)1.5 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的3本放在一起的概率。
103解：10本书共有A10种排法。指定的三本放在一起有A3种排法，把这三本看作一个整体与剩下的7本
8书又有A8种排法，因此所求的概率
38A3Ap=108 0.0667
A101.7在桥牌比赛中，把52张牌任意的分发给东、南、西、北四家（每家13张牌），求北家13张牌中：
（1）恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率； （2）恰有大牌A、K、Q、J各一张，其余为小牌的概率。
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13解：基本事件的总数N=C52。
（1）事件A(北家的13张牌中恰有5张黑桃，4张红心，3张方块，1张草花)包含的基本事件数
5431M1=C13C13C13C13，于是，所求的概率
5431C13C13C13C13P(A)= 0.0054。 13C52（2）事件B（北家的13张牌中恰有大牌A、K、Q、J各一张，其余为小牌）包含的基本事件数
149M2=(C4)C36，于是，所求的概率
149(C4)C36P(B)= 0.0380。 13C521.9 同时掷四个均匀的骰子，求下列事件的概率：
（1）A——四个骰子的点数各不相同； （2）B——恰有两个骰子的点数相同；
（3）C——四个骰子的点数两两相同，但两对的点数不同； （4）D——恰有三个骰子的点数相同； （5）E——四个骰子的点数都相同。
14解：同时投掷四个均匀的骰子，出现的点数共有(C6)种。
4A6P(A)=14 0.2778；
(C6)122C6C4A5P(B)= 0.5556； 14(C6)（1）事件A包含的事件个数M1=A46，于是
（2）事件B包含的事件个数M2=CCA162425，于是
22C6C4（3）事件C包含的事件个数M3=CC，于是 P(C)= 0.0694； 14(C6)2624（4）事件D包含的事件个数M4=CCC163415，于是
131C6C4C5P(D)= 0.0926； 14(C6)（5）事件E包含的事件个数M5=C16，于是
1C6P(E)=14 0.0046
(C6)1.13 某工厂生产的一批产品共100个，其中有5个次品。从这批产品中任取一半来检查，求发现次
品不多于1个的概率。
分析：设事件A表示检查时发现次品不多于1个，则可以分解为两个互不相容事件的并：A=A0+A1，
其中事件A0表示检查时没有发现次品，事件A1表示检查时发现1个次品。由此不难利用概率加法定理求解。
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50解：从这批产品中任取一半（即50个产品）来检查，基本事件的总数N=C100。事件A0，A1包含的
050149基本事件数分别是M0=C5C95，M1=C5C95。按公式（1.3）得
050149C5C95C5C95，P(A0)= 0.0281P(A)= 0.1529。 15050C100C100于是，按概率加法公式（1.11）得所求概率
P(A)=P(A0+A1)=P(A0)+P(A1)?0.02810.1529=0.181。
1.19 在1~100共一百个数中任取一个数，求这个数能被2或3或5整除的概率。 解：设事件A1表示该数能被
2整除；A2表示该数能被3整除；A3表示该数能被5整除，则
P(A1?A2?A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)=50332016106374++---+==0.74 100100100100100100100100
1.23 猎人在距离100m处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，
但由于动物逃跑而使距离变为150m；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200m。假定击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率。
分析：设事件A表示猎人击中动物，事件Bi表示第i次射击时击中（i=1,2,3），则A可以分解如下：
A=B1+B1B2+B1B2B3。在计算得事件B2及B3的条件概率后，就不难利用概率乘法定理与概率加法
定理求解。
解：因为第i次击中的概率pi与距离di成反比，所以设pi=k,i=1,2,3，其中k为比例常数。 di60,i=1,2,3。 di已知d1=100,p1=P(B1)=0.6，代入上式得k=60，所以有pi=因为在第一次未击中的条件下才进行第二次射击，在第一次、第二次都未击中的条件下才进行第三次射击，所以上述概率p2及p3都是条件概率，即
P(B2|B1)=p2=6060=0.4 ，P(B3|B1B2)=p3==0.3。 150200于是，按概率乘法公式（1.16）及（1.18）得
P(B1B2)=P(B1)P(B2|B1)=(1-0.6)?0.40.160.072。
P(B1B2B3)=P(B1)P(B2|B1)P(B3|B1B2)=(1-0.6)?(10.4)?0.3最后，按概率加法公式（1.13）得所求概率
P(A)=P(B1)+P(B1B2)+P(B1B2B3)=0.6+0.16+0.072=0.832
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1.25 两台车床加工同样多的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。
加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件时合格品的概率。
解：设事件A表示取出的零件是合格品；事件Bi（i=1,2）表示取出的零件是第i台车床加工的零件。
由全概率公式：
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=21?(10.03)+?(10.02)=0.9733 331.27 试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的。任一考生如果会
解这道题，则一定能选出正确答案；如果他不会解这道题，则不妨任选一个答案。设考生会解这道题的
概率是0.8，求：
（1）考生选出正确答案的概率；
（2）已知某考生所选答案是正确的，则他确实会解这道题的概率。
分析：设事件B表示考生会解这道题，则事件B表示考生不会解这道题。又设事件A表示考生选出正
确答案，则A可以分解如下：A=AB+AB。（1）利用全概率公式即可求得概率P(A)；（2）已知事件A发生，可以利用贝叶斯公式求条件概率P(B|A)。
解：（1）由题意知：
P(B)=0.8，P(B)=1-0.8=0.2；P(A|B)=1，P(A|B)=于是，按全概率公式（1.20）得所求概率
1=0.25。 4P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=0.8?10.2?0.25（2）按贝叶斯公式（1.21）得所求概率
0.85
P(B|A)=P(B)P(A|B)0.8′1= 0.941
P(A)0.851.28 在习题1.25中，如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率。
1′0.02P(B2)P(A|B2)3= 0.2497 解：由贝叶斯公式：P(B2|A)=P(A)1-0.97331.36 电灯泡使用时数在1000h以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000h以后最多只有一个坏了的
概率。
解：设A0表示一只也没有坏，A1表示只坏了一只，则
1P(A0?A1)?P(A0)?P(A1)?0.23?C30.8?0.22?0.008?0.096?0.104
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1.38 射击运动中，一次射击最多能得10环。设某运动员在一次射击中得10环的概率为0.4，得9环
的概率为0.3，得8环的概率为0.2，求该运动员在五次独立射击中得到不少于48环的概率。
分析：设事件A表示该运动员在5次独立射击中得到不少于48环，则A可以分解为下列事件的并：
A=A1+A2+A3+A4，其中
A1——5次都得到10环，共得50环；
A2——5次中有4次得到10环，1次得到9环，共得49环；
A3——5次中有4次得到10环，1次得到8环，共得48环； A4——5次中有3次得到10环，2次得到9环，共得48环。
我们可以先利用类似于推导二项概率公式的方法计算概率P(Ai),i=1,2,3,4;再利用概率加法定理求解。
解：已知每次射击得10环、9环、8环的概率分别是p10=0.4，p9=0.3，p8=0.2，则按概率乘法
公式（1.19）与概率加法定理得
4P(A1)=0.45=0.01024； P(A2)=C5创0.440.31=0.0384； 43P(A3)=C5创0.440.21=0.0256； P(A4)=C5创0.430.32=0.0576。
于是，按概率加法公式（1.13）得所求概率
P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.01024+0.0384+0.0256+0.0576 0.132
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