309教育资源库 www.309edu.com
例析三角形的外角
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，这是三角形外角性质．
三角形的外角性质应用广泛，下面以例说明． 一、求三角形的外角
例1 如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为D，BC与直线l2相交于点C，若∠1=30°，则∠2=______．
BAD21l1l2C解：如下图，延长AB交l2于点E．
因为l1∥l2，由两直线平行，内错角相等，得∠BEC=∠3． 由AB⊥l1，得∠3=90°．所以∠BEC=90°．
由三角形外角性质，得∠2=∠BEC+∠1=90°+30°=120°．
BE3AD21l1l2C 说明：本题也可延长CB交l1于点F，构造△FBD进行求解，请同学们完成． 二、比较角的大小
例2 下列四个图形中∠2大于∠1的是（ ）
ab(a∥b)12AD221B112CA B C D
解：A选项中，利用两直线平行，内错角相等及对顶角相等，可得∠1=∠2；
B选项，根据三角形的外角性质，可得∠2大于∠1． C选项中的∠2与∠1的大小关系无法确定； D选项中，由对顶角相等，可得∠1=∠2． 答案选B．
三、有关角的证明
309教育资源库 www.309edu.com
309教育资源库 www.309edu.com
例3 如图，△ABC中，点D为边AC上的一点，∠ABD=∠ADB，
求证：?DBC??ABC??C2
提示：在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°------ ①， 在△ABD中，有∠A+∠ABD+∠ADB=180°------ ②，
由已知∠ABD=∠ADB，可将②式变形为∠A+2∠ADB=180°------ ③， 又因为∠ADB 是△BCD的一个外角，所以∠ADB =∠C+∠DBC ， 代入③式，②式最终变形为∠A+ 2（∠C+∠DBC）=180°------ ④， 用④－①可得2（∠C+∠DBC）－∠ABC－∠C=0°, 即2（∠C+∠DBC）=∠ABC＋∠C， 整理后即得?DBC??ABC??C．
2例4 在△ABC中，①如图a，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则
1?P?90???A；②如图b，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，
2则∠P=90°－∠A；③如图c，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点,
1则?P?90???A；上述说法中正确的个数是（ ）
2A.0 B.1 C.2 D.3
提示：①在△BPC中，∠P=180°－∠PBC－∠PCB（三角形内角和），
11而?PBC??ABC，?PCB??ACB，
22309教育资源库 www.309edu.com
309教育资源库 www.309edu.com
11所以?P?180??（?ABC+?ACB），22而在ABC中，有?A+?ABC+?ACB=180?，111适当变形为?A??ABC??ACB?90?，222111得到?ABC??ACB?90???A，
22211所以?P?180??（?ABC??ACB）221=180?-（90???A）21=90?+?A2②在ABPC构成的“8字型”中，存在这样的关系：
∠A+∠ABP=∠P+∠PCA------Ⅰ
?ABP?1?ABC（BP为角平分线）------Ⅱ，21?PCA=?ACE（PC为角平分线），2而?ACE=?A+?ABC（?ACE为外角），1所以?PCA=（?A+?ABC）------Ⅲ，2将Ⅱ和Ⅲ代入Ⅰ即得11?A+?ABC??P?（?A+?ABC）221整理得?P=?A2
③在△BPC中,由三角形内角和知：
∠P+∠PBC+∠PCB=180°------Ⅰ， 由②的解题过程知
309教育资源库 www.309edu.com