过z0的一条射线上。我们有|z1?z0||z2?z0|?R2因此，z1及z2是关于圆C的对称点。
定理4 如果分式线性函数把 z平面上圆C映射成 w平面上的圆C'，那么它把关于圆C的对称点z1及z2映射成关于圆C'的对称点w1及w2。
证明：过w1及w2的任何圆是由过z1及z2的圆映射得来的。由引理4.1，过z1及z2的任何圆与圆C直交，从而由分式线性函数的保形性，过w1及w2的任何圆与圆
C'直交。再利用引理4.1，w1及w2是关于圆C'的对称点。
例：考虑扩充w平面上的一个圆|w|=R。分式线性函数
w?z?z1， z?z2把z1及z2映射成关于圆w|=R的对称点0及?，把扩充z平面上的曲线
|z?z1|?R, z?z2映射成为圆w|=R。由定理1、4知，上式表示的一个圆，z1及z2是关于它对称点。
3、两个特殊的分式线性函数：
(1)试求把上半平面Imz>0保形映射成单位圆盘|w|<1的分式线性函数。 这种函数应当一方面把Imz>0内某一点z0映射成w=0，一方面把Imz=0映射成|w|=1。由于线性函数把关于实轴Imz=0的对称点映射成为关于圆|w|=1的对称点，所求函数不仅把z0映射成w=0，而且把z0映射成w??。因此这种函数的形状是：
w??z?z0, z?z0其中?是一个复常数。其次，如果z是实数，那么
|w|?|?||z?z0|?|?|?1, z?z0于是??ei?，其中?是一个实常数。因此所求的函数应是
w?ei?z?z0, z?z0由于z是实数时，|w|=1，因此它把直线Imz=0映射成圆|w|=1，从而把上半平面Imz>0映射成|w|<1或|w|>1，又因为当z?z0时，|w|=0<1，因此这个函数正是我们所要求的。
注解1、圆盘|w|<1的直径是由通过z0及z0的圆在上半平面的弧映射成的； 注解2、以w=0为心的圆由以z0及z0为对称点的圆映射成的； 注解3、w=0是由z?z0映射成的。
(2)试求把单位圆|z|<1保形映射成单位圆盘|w|<1的分式线性函数。 这种函数应当把|z|<1内某一点z0映射成w=0，并且把|z|=1映射成|w|=1。不难看出，与z0关于圆|z|=1的对称点是
11，和上面一样，这种函数还应当把z0z0映射成w??。因此这种函数的形状是：
w??z?z0z?z0??1,
z?1/z01?zz0其中?,?1是一个复常数。其次，如果|z|=1时，那么
1?zz0?zz?z0z?z(z?z0),
于是
|w|?|?1||z?z0|?|?1|?1, 1?zz0因此?1?ei?，其中?是一个实常数。所求的函数应是
w?ei?z?z0, 1?zz0由于当|z|=1时，|w|=1，因此它把圆|z|=1映射成圆|w|=1，从而把|z|<1映射成|w|<1或|w|>1，又因为当z?z0时，|w|=0<1，因此这个函数正是我们所要求的。
注解1、圆盘|w|<1的直径是由通过z0及
1的圆在|z|<1内的弧映射成的； z0注解2、以w=0为心的圆由以z0及注解3、w=0是由z?z0映射成的。 4、最大模原理、施瓦茨引理：
1为对称点的圆映射成的； z0最大模原理及施瓦茨引理也是解析的基本性质之一，它在复变函数论中有大量应用。
定理1 如果函数w=f(z)在区域D内解析，并且|f(z)|在D内某点达到最大值，那么f(z)在D内恒等于常数。
证明：由定理3，假定f(z)在D内不恒等于常数，那么D1?f(D)是一个区域。设|f(z)|在z0?D达到最大值。显然，w0?f(z0)?D1，而且w0必有一个充分小的邻域包含在D1内。于是在这个邻域内可以找到一点w'满足|w'|?|w0|。从而在D内有一点z'满足w'=f(z')以及|f(z)|?|f(z0)|，这与所设矛盾。因此f(z)在D内恒等于常数。
注解1、此定理表明，在一个区域内不恒等于常数的解析函数，其模不可能在这个区域内达到最大值；
注解2、此定理的结论具有非常明确的物理意义。
系1设D是一个有界区域，其边界为有限条简单闭曲线C。设f(z)在D及其边界组成的闭区域D上连续，在D内解析，并且不恒等于常数。设M是|f(z)|在D上的最大值，即f(z)在D上的最大模，那么f(z)在边界C上而且只在边界
C上达到最大模。
证明：显然。
引理1设f(z)是在开圆盘|z|<1内的解析函数。设f(0)=0，并且当|z|<1时，|f(z)|<1。在这些条件下， （1）当|z|<1时，|f(z)|?|z|； （2）|f'(0)|?1;
（3）如果对于某一个复常数z0(0?|z0|?1),|f'(z0)|?|z0|，或者如果|f'(0)|=1，那么在|z|<1内
f(z)??z,
其中?是一个复常数，并且|?|?1。
证明：由于f(0)=0，f(z)在|z|<1内有泰勒级数
f(z)??1z??2z2?...??nzn?...?zg(z),
其中g(z)??1??2z?...在|z|<1内解析。因为当|z|<1时，|f(z)|<1，所以对于
|z|=r(0 |g(z)|?|由最大模原理，当|z|?r时，仍然有 f(z)1|?, zr1|g(z)|?, r令r?1，我们就得到：当|z|<1时 |g(z)|?1, 于是当0<|z|<1时， |即 f(z)|?1, z|f(z)|?|z| 由于f(0)=0，当z=0时，上式成立，我们就得到引理中的结论(1)；（2）的结论也显然成立。结论成立。 设在某一点z0(0?|z0|?1),|f'(z0)|?|z0|。那么，|g(z)|在z0达到它的最大模。或者设|f'(0)|=1，那么我们有|g(0)|=| f'(0)|=1，即在|g(z)|在0达到它的最大值1。因此，由极大模原理，在|z|<1内g(z)??，其中?是一个模为1的复常数。 注解1、此引理表明，设f(z)在|z|<1内解析。设在映射w=f(z)下，|z|<1的象在|w|<1内，并设f(0)=0，那么 （1）|z| （3）如果某一z0(0?|z0|?1)和它的象的模相等，或者|f'(0)|=1，那么 f(z)??z,其中?是一个复常数，并且|?|?1。 注解2、施瓦茨引理在复变函数论的发展历史上，曾因和比伯巴赫猜想有关而受到广泛关注。 5、实例： 在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例。 例1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|<1，Imz>0保形映射成上半平面。 解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式线性函数 w'?z?1， z?1把-1及+1分别映射成w'平面上的0及?两点，于是把|z|=1及Imz=0映射成w'平面上在原点互相直交上面的两条直线。 由于分式线性函数中的系数是实数，所以z平面上的实轴映射成w'平面上的实轴；又由于z=0映射成w'=-1，半圆的直径AC映射成w'平面上的负半实轴。 显然圆|z|=1映射成w'平面上的虚轴；又由于z=i映射成w'?yDi?1??i，半i?1AOBCxB(?1)A(0)D(?1)A(0)B(1)COD(?i)CCz?平面w'?平面w?平面圆ADC映射成w'平面上的下半虚轴。 根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w'平面上的的区域，应当在周界ABC的左方，因此它是第三象限??argw'? ?2。