(2)根据抛物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC10,然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形. (3)分别以A、C两点为圆心,AC长为半径画弧,与x轴交于三个点,由AC的垂直平分线与x轴交于一个点,即可求得点N的坐标;
(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD⊥x轴于点D,根据
三角形相似对应边成比例求得MD=(n+2),然后根据S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
得出关于n的二次函数,根据函数解析式求得即可.
【解答】解:(1)∵二次函数y=ax+x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x
2
轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),
, ∴
解得 .
∴抛物线表达式:y=﹣x2+x+4;
(2)△ABC是直角三角形.
2
令y=0,则﹣x+x+4=0,
解得x1=8,x2=﹣2,
∴点B的坐标为(﹣2,0), 由已知可得,
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20, 在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80, 又∵BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2 ∴△ABC是直角三角形. (3)∵A(0,4),C(8,0), ∴AC= =4 ,
①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(﹣8,0), ②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(8﹣4 ,
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0)或(8+4 ,0)
③作AC的垂直平分线,交x轴于N,此时N的坐标为(3,0),
综上,若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(﹣8,0)、(8﹣4 ,0)、(3,0)、(8+4 ,0).
(4)如图,
AB= =2 ,BC=8﹣(﹣2)=10,AC= =4 , ∴AB2+AC2=BC2, ∴∠BAC=90°. ∴AC⊥AB. ∵AC∥MN, ∴MN⊥AB.
设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2, ∵MN∥AC, △BMN∽△BAC
∴=, ∴=,
BM==,
MN==,
AM=AB﹣BM=2 ﹣=
∵S△AMN=AM?MN
=××
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=﹣(n﹣3)2+5,
当n=3时,△AMN面积最大是5, ∴N点坐标为(3,0).
∴当△AMN面积最大时,N点坐标为(3,0).
【点评】本题是二次函数的综合题,解(1)的关键是待定系数法求解析式,解(2)的关键是勾股定理和逆定理,解(3)的关键是等腰三角形的性质,解(4)的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等.
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