第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
??按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
(2)分类?
?按终边位置不同分为象限角和轴线角.?
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：
角α的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 |α|＝(l表示弧长) π?180?°①1°＝ rad；②1 rad＝?? 180?π?lrl＝|α|r S＝lr＝|α|r2 1212设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 定义 yy叫做α的正弦，记作x叫做α的余弦，记作cos 叫做α的正切，记xsin α α 作tan α ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 各象限符号 一 二 三 四 三角函数线
有向线段MP为正弦线 [小题体验]
有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 1．(2019·海门一中月考)若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在第________象限．
答案：一、三
2．(2018·南京调研)已知角α的终边过点P(－5,12)，则cos α＝________. 5
答案：－
13
3．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．
答案：1.2
1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝，cos α ＝，tan α＝.
[小题纠偏]
10π1．(2019·如皋模拟)－为第________象限角．
3答案：二
2．若角α终边上有一点P(x,5)，且cos α＝(x≠0)，则sin α＝________.
135
答案： 13
考点一 角的集合表示及象限角的判定
基础送分型考点——自主练透
yxyrxryxx [题组练透]
α
1．(2019·海安模拟)若α是第二象限角，则是第______象限角．
2解析：∵α是第二象限角，
π
∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， 2παπ
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z. 422α
当k为偶数时，是第一象限角；
2α
当k为奇数时，是第三象限角．
2α
故是第一或三象限角． 2答案：一或三
2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°＜0°，
76545
得－765°≤k×360°＜－45°，解得－≤k＜－，
360360从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°
3．终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________． 解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与
x轴的夹角是，在[0,2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：，
4π2π5π
；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件333的角α构成的集合为?－
5π2ππ4π?
，－，，?. 3333??
?
π
3π3
?5π2ππ4π?
答案：?－，－，，?
3333??
αα?α?4．设角α是第三象限角，且?sin?＝－sin，则角是第________象限角．
2?22?3ππα
解析：由角α是第三象限角，知2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)，则kπ＋＜＜
222
kπ＋
3παααα?α?(k∈Z)，故是第二或第四象限角．由?sin?＝－sin，知sin＜0，所以只
2?42222?
能是第四象限角．
答案：四