结构有限元分析中的网格划分技术及其
应用实例
一、前言
有限元网格划分是进行有限元数值模拟分析至关重要的一步，它直接影响着后续数值计算分析结果的精确性。网格划分涉及单元的形状及其拓扑类型、单元类型、网格生成器的选择、网格的密度、单元的编号以及几何体素。从几何表达上讲，梁和杆是相同的，从物理和数值求解上讲则是有区别的。同理，平面应力和平面应变情况设计的单元求解方程也不相同。在有限元数值求解中，单元的等效节点力、刚度矩阵、质量矩阵等均用数值积分生成，连续体单元以及壳、板、梁单元的面内均采用高斯（Gauss）积分，而壳、板、梁单元的厚度方向采用辛普生（Simpson）积分。辛普生积分点的间隔是一定的，沿厚度分成奇数积分点。由于不同单元的刚度矩阵不同，采用数值积分的求解方式不同，因此实际应用中，一定要采用合理的单元来模拟求解。
CAD软件中流行的实体建模包括基于特征的参数化建模和空间自由曲面混合造型两种方法。Pro/E和SoildWorks是特征参数化造型的代表，而CATIA与Unigraphics等则将特征参数化和空间自由曲面混合造型有机的结合起来。现有CAD软件对表面形态的表示法已经大大超过了CAE软件，因此，在将CAD实体模型导入CAE软件的过程中，必须将CAD模型中其他表示法的表面形态转换到CAE软件的表示法上，转换精度的高低取决于接口程序的好坏。在转换过程中，程序需要解决好几何图形（曲线与曲面的空间位置）和拓扑关系（各图形数据的逻辑关系）两个关键问题。其中几何图形的传递相对容易实现，而图形间的拓扑关系容易出现传递失败的情况。数据传递面临的一个重大挑战是，将导入CAE程序的CAD模型改造成适合有限元分析的网格模型。在很多情况下，导入CAE程序的模型可能包含许多设计细节，如细小的孔、狭窄的槽，甚至是建模过程中形成的小曲面等。这些细节往往不是基于结构的考虑，保留这些细节，单元数量势必增加，甚至会掩盖问题的主要矛盾，对分析结果造成负面影响。
CAD模型的“完整性”问题是困扰网格剖分的障碍之一。对于同一接口程序，数据传递的品质取决于CAD模型的精度。部分CAD模型对制造检测来说具备足够的精度，但对有限元网格剖分来说却不能满足要求。值得庆幸的是，这种问题通常可通过CAD软件的“完整性检查”来修正。改造模型可取的办法是回到CAD系统中按照分析的要求修改模型。一方面检查模型的完整性，另一方面剔除对分析无用的细节特征。但在很多情况下，这种“回归”很难实现，模型的改造只有依靠CAE软件自身。CAE中最直接的办法是依靠软件具有的“重构”功能，即剔除细部特征、缝补面和将小面“融入”大曲面等。有些专用接口在模型传递过程中甚至允许自动完成这种工作，并且通过网格剖分器检验模型的“完整性”，如发现“完整性”不能满足要求，接口程序可自动进行“完整性”修复。当几何模型距CAE分析的要求相差太大时，还可利用CAE程序的造型功能修正几何模型。“布尔运算”是切除细节和修理非完整特征的有效工具之一。
目前数据传递一般可通过专用数据接口，CAE程序可与CAD程序“交流”后生成与CAE程序兼容的数据格式。另一种方式是通过标准图形格式如IGES、SAT和ParaSolid传递。现有的CAD平台与通用有限元平台一般通过IGES、STL、Step、Parasolid等格式来数据交换，早期IGES接口应用比较广泛，但由于该标准本身的不严格性，导致多数复杂模型的传递以失败告终，如图1所示为某汽车覆盖件在UGII中以IGES格式输出时产生的信息，可以看出其包含大量有限元分析不必要的几何信息。而SAT与ParaSolid标准较为严格，被多数CAD程序采用。由于典型通用有限元软件（如MSC.PATRAN、MSC.MARC、ANSYS、ABAQUS、ADINA等）的建模功能都不是很强，尤其是在面对包含复杂空间曲面的产品结构时表现出明显的不足，同时不利于建立后续的单元网格划分模型。因此，利用现有CAD平台（如CATIA、UGII、PRO/E）完成网格划分工作，或借助专业网格划分
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软件HyperMesh、AIEnviroment等来完成任务是比较好的方法。下面分别以包含大量空间自由曲面的汽车覆盖件产品和宇航业中常用的大型整体网格筋壳体为对象，简述有限元网格划分的基本原理方法和应用。
图1 IGES文件输出的图素信息
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二、有限元网格划分方法与基本原理 1．有限元网格划分的指导思想
有限元网格划分的指导思想是首先进行总体模型规划，包括物理模型的构造、单元类型的选择、网格密度的确定等多方面的内容。在网格划分和初步求解时，做到先简单后复杂，先粗后精，2D单元和3D单元合理搭配使用。为提高求解的效率要充分利用重复与对称等特征，由于工程结构一般具有重复对称或轴对称、镜象对称等特点，采用子结构或对称模型可以提高求解的效率和精度。利用轴对称或子结构时要注意场合，如在进行模态分析、屈曲分析整体求解时，则应采用整体模型，同时选择合理的起点并设置合理的坐标系，可以提高求解的精度和效率，例如，轴对称场合多采用柱坐标系。有限元分析的精度和效率与单元的密度和几何形状有着密切的关系，按照相应的误差准则和网格疏密程度，避免网格的畸形。在网格重划分过程中常采用曲率控制、单元尺寸与数量控制、穿透控制等控制准则。在选用单元时要注意剪力自锁、沙漏和网格扭曲、不可压缩材料的体积自锁等问题。 典型有限元软件平台都提供网格映射划分和自由适应划分的策略。映射划分（Mapped/IsoMesh）用于曲线、曲面、实体的网格划分方法，可使用三角形、四边形、四面体、五面体和六面体，通过指定单元边长、网格数量等参数对网格进行严格控制，映射划分只用于规则的几何图素，对于裁剪曲面或者空间自由曲面等复杂几何体则难以控制。自由网格划分（Free/Paver）用于空间自由曲面和复杂实体，采用三角形、四边形、四面体进行划分，采用网格数量、边长及曲率来控制网格的质量。例如，在MSC.MARC中，其转换（Convert）用法是几何模型转换为网格模型，点转换为节点，曲线转换为线单元，面转换为三角形、四边形等。网格自动划分（AutoMesh）则是在任意曲面上生成三角形或者四边形，对任意几何体生成四面体或者六面体。
网格重划分（Remesh）是在每一步计算过程中，检查各单元法向来判定各区域的曲率变化情况，在曲率较大变形剧烈的区域单元，进行网格加密重新划分，如此循环直到满足网格单元的曲率要求为止。网格重划分的思想是通过网格加密的方法来提高分析的精度和效率。网格自适应划分（Adaptive Refinement）的思想是在计算步中，升高不满足分析条件的低阶单元的阶次来提高分析的精度和效率，应用比较广泛。自适应网格划分必须采用适当的单元，在保证单元阶次的基础上，原本已形成的单元刚度矩阵等特性保持不变，才能同时提高精度和效率。阶
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谱单元（Hierachical Element）充分发挥了自适应网格划分的优点，在计算中通过不断增加初始单元的边上的节点数，从而使单元插值函数的阶次在前一阶的基础上不断增加，通过引入新增节点的插值函数来提高求解的精度和效率。例如，三节点三角形单元升为六节点三角形单元，四节点四边形单元升阶为8节点四边形单元，四节点四面体单元升阶为8节点、10节点、20节点四面体。 2．有限元网格划分的基本方法
有限元网格划分方法有两种，对于简单的结构多采用直接建立单元模型的网格直接生成法，当对象比较复杂时，多通过几何自动生成法来完成，即在几何元素描述的物理基础上自动离散成有限单元。有限元单元可以按几何维数划分为一维、二维和三维单元，而在实际应用中采用拓扑结构单元，包括常用的质量单元、弹簧元、杆与梁管单元、平面三角形单元、平面四边形单元、膜单元、等参单元、壳单元和三维实体单元。有限元网格划分，对于二维平面、三维曲面和三维实体网格有以下几种划分方法：
（1）覆盖法：基于四边形的网格划分，要求网格划分的平面或曲面必须是完整裁减曲面，该曲面边界必须是裁减曲线；
（2）前沿法：通过把曲面等参变换到二维空间进行网格划分，然后映射到三维空间曲面上，把曲面划分成完全的四边形单元或三角形单元；
（3）Delaunay三角形法：主要用于由至少一条封闭曲线所围成的单连通域或多连通域内生成三角形单元，趋向于等边三角形。充分考虑了几何形状中细微的几何特征，并在微小特征处划分成较细的单元，在不需要密网格处，采用稀疏单元网格。
（4）转换扩展法：针对曲面几何形状比较规则的几何区域进行网格划分，其网格生成速度快，网格质量高。由节点扩展为线单元，从线单元生成平面二维单元，从二维单元生成三维单元。它不仅仅用于三维网格的生成，同时可进行一维、二维网格和几何体的生成，包括移动、镜像、拉伸、旋转、扫描三维实体的扩展方式、扩展系数和扩展方向。 3．网格质量的评估
单元的质量和数量对求解结果和求解过程影响较大，如果结构单元全部由等边三角形、正方形、正四面体、立方六面体等单元构成，则求解精度可接近实际值，但由于这种理想情况在实际工程结构中很难做到。因此根据模型的不同特征，设计不同形状种类的网格，有助于改善网格的质量和求解精度。单元质量评价一般可采用以下几个指标：
（1）单元的边长比、面积比或体积比以正三角形、正四面体、正六面体为参考基准。理想单元的边长比为1，可接受单元的边长比的范围线性单元长宽比小于3，二次单元小于10。对于同形态的单元，线性单元对边长比的敏感性较高阶单元高，非线性比线性分析更敏感。 （2）扭曲度：单元面内的扭转和面外的翘曲程度。
（3）疏密过渡：网格的疏密主要表现为应力梯度方向和横向过渡情况，应力集中的情况应妥善处理，而对于分析影响较小的局部特征应分析其情况，如外圆角的影响比内圆角的影响小的多。
（4）节点编号排布：节点编号对于求解过程中的总体刚度矩阵的元素分布、分析耗时、内存及空间有一定的影响。合理的节点、单元编号有助于利用刚度矩阵对称、带状分布、稀疏矩阵等方法提高求解效率，同时要注意消除重复的节点和单元。 4．装配结构中单元的协调
（1）自由度不同的单元不协调：例如，ANSYS中SHELL63、BEAM4和SOLID45三种单元，前二者均包含六个自由度，而Solid45只包含三个平动自由度，因此后者只传递前二者的平动位移，不传递R旋转方向的位移。 （2）有相同自由度的单元不总是协调的：例如，ANSYS中BEAM3和SHELL41单元，Beam3具备平动方向的三个自由度，而SHELL41包括两个平动自由度(UX/UY)和一个旋转自由度(RTOTZ)，因此SHELL41只能传递BEAM3的平动位移，不能传递旋转方向的值。
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