数学试卷
（3）根据规律，l的算式等于大正方形的面积减去最后剩下的一小部分的面积，然后写出结果即可． 解答： 解：（1）已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点， 求证：DE∥BC且DE=BC， 证明：如图，延长DE至F，使EF=DE， ∵E是AC的中点， ∴AE=CE， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴AD=CF（全等三角形对应边相等）， ∠A=∠ECF（全等三角形对应角相等）， ∴AD∥CF， ∵点D是AB的中点， ∴AD=BD， ∴BD=CF且BD∥CF， ∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴DF∥BC且DF=BC（平行四边形的对边平行且相等）， ∵DE=EF=DF， ∴DE∥BC且DE=BC； （2）∵A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点， ∴A1B1=AB，B1C1=BC，C1D1=CD，A1D1=AD， ∴四边形A1B1C1D1的周长=×1=， 同理可得，四边形A2B2C2D2的周长=×=， 四边形A3B3C3D3的周长=×=， …， ∴四边形的周长之和l=1++++…； （3）由图可知，+++…=1（无限接近于1）， 所以l=1++++…=2（无限接近于2）． 数学试卷
点评： 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的证明，利用面积法求等比数列的和，平行四边形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形的和平行四边形是解题的关键，（3）仔细观察图形得到部分与整体的关系是解题的关键． 25．（11分）（2019?佛山）我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．
如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．
（1）如图，若B1B=30米，∠B1=22°，∠ABC=30°，求AC（精确到1）； （参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，≈1.73）
（2）如图2，若∠ABC=30°，B1B=AB，计算tan15°的值（保留准确值）； （3）直接写出tan7.5°的值．（注：若出现双重根式
，则无需化简）
考点： 解直角三角形的应用；勾股定理． 分析： （1）在直角△ABC和直角△AB1C中，利用三角函数，用AC分别表示出BC和B1C，根据B1B=B1C﹣BC，列方程求得AC的长； （2）设B1B=AB=x，在直角三角形ABC中，利用三角函数用x表示出AC和BC的长，则B1C即可求得，根据正切的定义即可求解； 数学试卷
（3）按照（1）（2）的规律，画出含有7.5°角、15°角和30°角的直角三角形，如答图3所示，利用勾股定理、等腰三角形的性质及正切的定义，求出tan7.5°的值． 解答： 解：（1）在直角△ABC中，tan∠ABC=， 则BC=同理，B1C=∵B1B=B1C﹣BC， ∴﹣AC=30， =AC， ， 解得：AC≈39； （2）∵B1B=AB， ∴∠B1=∠B1AB=∠ABC=15°， 设B1B=AB=x， 在直角△ABC中，∠ABC=30°， ∴AC=AB=x，BC=∴B1C=x+x， x， ∴tan15°====2﹣； （3）如答图3所示，图中三角形依次是含有7.5°角、15°角和30°角的直角三角形． 设AC=a，则AB=2a，BC=∴B1B=AB=2a， ∴B1C=2a+a=（2+）a． 在Rt△AB1C中，由勾股定理得：AB1==a， a+（2+=． ）a =2a， =a． ∴B2B1=AB1=2∴B2C=B2B1+B1C=2∴tan7.5°=tan∠AB2C=∴tan7.5°=数学试卷
点评： 此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．