有理数的乘方、混合运算及科学记数法（提高）
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 3. 进一步掌握有理数的混合运算. 4. 会用科学记数法表示大数. 【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：aa???a?an.在a中，a叫做底数， n叫做指数．
nn个要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
1
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是5，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 a≥0．
要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数． 要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用． 要点四、科学记数法
把一个大于10的数表示成a?10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，l≤|a|<10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝4.2?107. 要点诠释：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“?”照写，其它与正数一样，如-3000=?3?10； （2）把一个数写成a?10形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
n32
【典型例题】
类型一、有理数的乘方
1．（2016?虞城县一模）下列各数：①﹣1；②﹣（﹣1）；③﹣1；④（﹣1），其中结果等于﹣1的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【思路点拨】原式各项计算得到结果，即可作出判断． 【答案】A．
【解析】解：①﹣1=﹣1，符合题意；②﹣（﹣1）=﹣1，符合题意；③﹣1=﹣1，符合题
2
意；④（﹣1）=1，不符合题意． 故选A．
2
2
3
2
2
3
2
(?a)【总结升华】注意(?a)与?a的意义的区别．
（n为正整数）．
举一反三：
nn2n(?a)2n?1??a2n?1?a2n（n为正整数），
【变式】已知a?2，且a?2?4，则a的倒数的相反数是 ． 【答案】
31 8类型二、乘方运算的符号法则
2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
?5?2010
(-2)，(-3)，(-1.0009)，??，-(-2)
?3?7
24
2009
5【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则． 【答案与解析】解：根据乘方的符号法则判断可得：
?5?7242009
(-2)运算的结果是负；(-3)运算的结果为正；(-1.0009)运算的结果是负；???3?2010
5运算的结果是正；-(-2)运算的结果是负． 【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负． 举一反三：
【变式】（2015春?富阳市校级期中）计算（﹣2）+（﹣2）
2014
A．﹣2 B． 2 C． ﹣2 【答案】C．
解：（﹣2）+（﹣2）=（﹣2）类型三、有理数的混合运算
2015
2014
2014
2015
2014
所得的结果是（ ）
2015
D． 2
2014
（﹣2+1）=2
2014
×（﹣1）=﹣2.
3．计算：
23
（1）-(-3)+(-2)÷[(-3)-(-5)]
3
2
10
4
4
（2）[7-6×(-7)-(-1)]÷(-21-24+21)
??1?1?22（3）????????2?；
?2?2?33?13?1?1??1??1（4）?????2???11?2?13??24? 342434????????0.2?【答案与解析】 23
解：（1）-(-3)+(-2)÷[(-3)-(-5)] ＝-9+(-8)÷(-3+5) ＝-9+(-8)÷2 ＝-9+(-4)＝-13
321044
（2）[7-6×(-7)-(-1)]÷(-21-24+21)
2244
＝(7×7-6×7-1)÷(-21+21-24)
2
＝[7×(7-6)-1]÷(-24) ＝(49-1)÷(-24) ＝-2
（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.
原式???23181221111?[?(2?)]????? 2338324（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.
13?1?1??1??1??2?11?2?13?24???????334??4??2??4??0.2?15457551?(?)?(??)?24?1162434(?)351257?????24??24?125165231???60?56?1254039?12040?2
【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提． 类型四、科学记数法
4．（2015?酒泉）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（ ）
A．0.675×10 B． 6.75×10 C． 67.5×10 D． 675×10
n
【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【答案】B．
将67500用科学记数法表示为：6.75×10．
4
5
4
3
2
【总结升华】将一个绝对值较大的数写成科学记数法a?10的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．在进行运算时，a部分和10的部分分别运算，然后再把结果整理成a?10的形式． 类型五、探索规律
5．下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：
nnn1??1???1??； 2?2?1??1??(?1)2??(?1)3?第2个数：??1??1???1?4?；
3?2??3????1??1??(?1)2??(?1)3??(?1)4??(?1)5?第3个数：??1?； 1?1?1???1????????4?2??3??4??5??6?…
23?(?1)2n?1?1??1??(?1)??(?1)?第n个数：??1???1??1?4?…?1?2n?．
n?1?2??3??????那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）．
A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数 【答案】A
【解析】第1个数结果为
11111??0；第2个数结果为???；第3个数结果为223261114365??1????；…；发现运算中在?1??后边的各式为????…，分子、分母相
2?4243456?约为1，所以第n个数结果为
11?，把第10、11、12、13个数分别求出，比较大小即n?12可．
【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循． 举一反三：
【变式】观察下面三行数：
①-3，9，-27，81，-243，729，… ②0，12，-24，84，-240，732，… ③-1，3，-9，27，-81，243，… (1)第①行数按什么规律排列?
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?
(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】
2
3
4
解：(1)第①行数的规律是：-3，(-3)，(-3)，(-3)，…；
234
(2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)+3，(-3)+3，(-3)+3，…；第③行
11111234，即?3?，(?3)?，(?3)?，(?3)?，…； 333331101010(3)每行数中的第10个数的和是：(?3)?[(?3)?3]?(?3)??59049+59052+19683＝
3数是第①行数相应的数的137784．