3.4.1 基本不等式
【学习目标】
１．能够叙述发现基本不等式的过程；会用多种方法证明基本不等式；
２．能够举例说明基本不等式在解决简单的最值、不等式证明、比较大小、求取值范围等问题方面的应用；
3．通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识． 【重点难点】
基本不等式的证明与应用． 【学习过程】 一、自主学习：
如图3-4-1-1是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 二、合作探究归纳展示 (一)．命题的探究
观察图3-4-1-1思考：
（1）上图中有几个直角三角形？它们全等吗？图中有几个正方形？ 大小如何？
（2）假设直角三角形直角边分别为a、b则外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用不等式表示为：_______ ___；（教材P97）
（3）假设直角三角形变为等腰直角三角形即直角边a=b时，图形内部小正方形变成什么？此时外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用等式表示为：__________；
（4）综上，四个直角三角形面积之和与外大正方形面积的大小关系如何？用一个不等式表示：__________
（5）如果 a >0且b >0 用
图 3．4-1-1
a和b代替不等式中的a、b上不等式可变形为
_____ _____； （?） 我们称
a?b为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数，因而，此不等式又可叙2述为：______________________________．
对于不等式（*）我们是几何图形的面积关系得出的，我们再从图3.4-1-2 观察它的几何意义。 ●观察思考
图3.4-1-2是以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a，CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′．
思考：
1．圆的半径r=__________；
2. 连接AD、BD，则△ABD是直角三角形吗？△ACD与BCD相似吗？
用a、b表示半弦CD=_________； 3. 圆的半径r与半玹CD大小关系如何?什么时候才能等？
用一个不等式表示：_________;
4．用一句话描述半径与半玹的不等关系：______________________________。 5．如果把
相△
a?b看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那2么该定理可以叙述为：______________________________。
●归纳概括
由上面的探究，一般的，当a >0且b >0时有不等式：_________________，我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）．（教材p98公式（?））
(二)．命题的证明
x2?y2?xy, 当且仅当________时，等号成立． 证法一：x，y∈R，(x－y)?0?22x2?y2令 x=a, y=b, 所以 ?xy?_____________,当且仅当
2
________时，等号成立．
[评析] 证明一是从一个已知成立的不等式x，y∈R，(x－y)?0出发推导出要证的不等式，这种证明的方法叫做“综合法”。你能从哪个已知成立的不等式出发来证明这个不等式？
2
三、讨论交流点拨提升 想一想：a2?b2?2ab与练一练：
★1.正数a=1，b=9则a、b的算术平均数__________；几何平均数_________；大小如何？ ★2.正数a=6，b=6则a、b的算术平均数_________；几何平均数_________；大小如何？ ★3.正数a=1，b=9则a、b的等差中项__________；等比中项_________；大小如何？ a?b?ab适用的范围，a,b有什么不同？______________ 2
★4.正数a=4，b=4则a、b的等差中项__________；_________；大小如何？ ★5.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件．
（1）a2?b2 ( ) （2）a?b2 （ （3）ba?ab （ ） （4）ab≤ （ ）（5）x?11x （ ）(x<0) （6）x?x （ 基本不等式的拓展
当a?0,b?0时，2a?ba2?11?ab?b22?2 a?b
命题的应用
★例1．（直接利用基本不等式） 教材P99例1，例2
四、学能展示课堂闯关 （1）x,y都是正数，求证：
yx?xy≥2
（2）设a,b,c都是正数，求证：b?cc?a?ab?a?bc?6
）
(x>0)
）