第2章
2.2解： 项目 相同之处 不同之处 定义 都是根据从一个总体中抽样得到的样本，然后定义样本均值为1ny??yi。 ni?1_抽样理论中样本是从有限总体中按放回的抽样方法得到的，样本中的样本点不会重复；而数理统计中的样本是从无限总体中利用有放回的抽样方法得到的，样本点有可能是重复的。 性质 (1) 样本均值的期望都等于总体均值，也就是抽样理论和数理统计中的样本均值都是无偏估计。 (2) 不论总体原来是何种分布，在样本量足够大的条件下，样本均值近似服从正态分布。 (1) 抽样理论中，各个样本之间是不独立的；而数理统计中的各个样本之间是相互独立的。 (2) 抽样理论中的样本均值的方差为_1?f21??2V?y??S，其中S?Yi?Y?。??nN?1??2在数理统计中，V?y??方差。 12?，其中?2为总体的n
2.3 解：首先估计该市居民日用电量的95%的置信区间。根据中心极限定理可知，在大
样本的条件下，间为?y?z?y?YV?y?_?y?E?y?V?y?近似服从标准正态分布， Y的1???95%的置信区
_V?y?,y?z?2V?y????y?1.96V?y?,y?1.96V?y??。
????1?f2S中总体的方差S2是未知的，用样本方差s2来代替，置信区间而V?y??n2?1?f1?fs,y?1.96为?y?1.96nn?_?s? ?2由题意知道，y?9.5,s?206，而且样本量为n?300,N?50000，代入可以求得
v(y)?_1?f21?30050000s??206?0.6825。将它们代入上面的式子可得该市居民n300日用电量的95%置信区间为??7.8808,11.1192??。
下一步计算样本量。绝对误差限d和相对误差限r的关系为d?rY。
_ 1
根据置信区间的求解方法可知
?__y?Y?_?__??P?y?Y?rY??1???P?????V?y????rY????1??
V?y????_?__?2_y?Y????rY????Z?2??1??，所以V?y???根据正态分布的分位数可以知道P?。
?z?2??V?y?????????_?rY??11?也就是???S2???n?1??nNz????2?_22??_????rY??1?????。
22?Nz??/2S????2把y?9.5,s?206,r?10%,N?50000代入上式可得，n?861.75?862。所以样
本量至少为862。
2.4 解：总体中参加培训班的比例为P，那么这次简单随机抽样得到的P的估计值p的方差V?p??p?P1?fNP?1?P?，利用中心极限定理可得在大样本的条件下近
nN?1V?p?似服从标准正态分布。在本题中，样本量足够大，从而可得P的1???95%的置信区间为
?p?z?2V?p?,p?z?2V?p??。
??而这里的V?p?是未知的，我们使用它的估计值
V?p??v?p???^1?fp?1?p??9.652?10?5。所以总体比例P的1???95%的置信区间n?12可以写为?p?z?v?p?,p?z?2v?p??，将p?0.35,n?200,N?10000代入可得置
?信区间为??0.2844,0.4156??。
2.5 解：利用得到的样本，计算得到样本均值为y?2890/20?144.5，从而估计小
区的平均文化支出为144.5元。总体均值Y的1???95%的置信区间为
_?y?z?2V?y?,y?z?2V?y??，用v?y??1?fs2来估计样本均值的方差V?y?。 ??n1?f21?0.12s??826.0?256，37.17225则6v?y??计算得到s?826.0，
n20
2
z?2V?y??1.96?37.172?11.95，代入数值后计算可得总体均值的95%的置信区间为
?132.55,156.45?。
2.6 解：根据样本信息估计可得每个乡的平均产量为1 120吨，该地区今年的粮食总产
量Y的估计值为Y?350y?350?1120?3.92?105（吨）。
^N2?1?f?2??总体总值估计值的方差为V?Y??总体总值的1???95%的置信区间S，
n??^?^?^?^?^??为?Y?z?2V?Y?,Y?z?2V?Y??，把Y?3.92?105,S2?25600,n?50,N?350,
????????^_f?n,z?2?1.96代入，可得粮食总产量的1???95%的置信区间为N??377629,406371??。
2.7 解：首先计算简单随机抽样条件下所需要的样本量，把
?1d2?N?1000,d?2,1???95%,S?68带入公式n0?1??22?，最后可得
?Nz?/2S?2n0?61.3?62。
如果考虑到有效回答率的问题，在有效回答率为70%时，样本量应该最终确定为
n?n070%?88.57?89。
2.8 解：去年的化肥总产量和今年的总产量之间存在较强的相关性，而且这种相关关
系较为稳定，所以引入去年的化肥产量作为辅助变量。于是我们采用比率估计量的形式来估计今年的化肥总产量。去年化肥总产量为X?2135。利用去年的化肥总产量，今年的化
^^肥总产量的估计值为YR?RX?yx__X?2426.14吨。
1?f2s=37.17。 n2.9 解：本题中，简单估计量的方差的估计值为v?y??利用比率估计量进行估计时，我们引入了家庭的总支出作为辅助变量，记为X。文化支出属于总支出的一部分，这个主要变量与辅助变量之间存在较强的相关关系，而且它们之间的关系是比较稳定的，且全部家庭的总支出是已知的量。
文化支出的比率估计量为yR?RX?_^_yx__X，通过计算得到y?2890/20?144.5，而
___144.5x?1580，则R?_??0.09151580x_^y_，文化支出的比率估计量的值为yR?146.3（元）。
3
现在考虑比率估计量的方差，在样本量较大的条件下，
V?yR??MSE?yR??22x1?f2S?2R?S?Sx?R2Sx2?，通过计算可以得到两个变量的样?n4^本方差为s?826,s?9.958?10，Y和X之间的相关系数的估计值为??0.974，
?_?代入上面的公式，可以得到比率估计量的方差的估计值为v?yR??1.94。这个数值
??比简单估计量的方差估计值要小很多。全部家庭的平均文化支出的1???95%的置信区间为?yR?z??2v?yR?,yR?z?2v?yR????yR?1.96v?yR?,yR?1.96v?yR??，
???把具体的数值代入可得置信区间为?143.57,149.03?。
?_??_?V?yR?v?yR???????1.94?0.052，这是比估
接下来比较比估计和简单估计的效率，
V?y?v?y?37.17计的设计效应值，从这里可以看出比估计量比简单估计量的效率更高。
22.10 解：利用简单估计量可得y??yin?1630/10?163，样本方差为s?212.222，
N?120，样本均值的方差估计值为v?y??1?f21?10/120s??212.222?19.4537。 n10利用回归估计的方法，在这里选取肉牛的原重量为辅助变量。选择原重量为辅助变量是
合理的，因为肉牛的原重量在很大程度上影响着肉牛的现在的重量，二者之间存在较强的相关性，相关系数的估计值为??0.971，而且这种相关关系是稳定的，这里肉牛的原重量的数值已经得到，所以选择肉牛的原重量为辅助变量。
回归估计量的精度最高的回归系数?的估计值为???^^^s14.568?0.971??1.368。sx10.341?__?现在可以得到肉牛现重量的回归估计量为ylr?y???X?x?，代入数值可以得到
??^_ylr?159.44。
_?_??_?1?f2回归估计量ylr的方差为V?ylr??MSE?ylr??S?1??2?，方差的估计值为
n????_^2??_?1?f2?v?ylr??s?1???，代入相应的数值，
n????2?_?1?f2?^?v?ylr??s?1????1.112，显然
n?????_?有v?ylr??v?y?。在本题中，因为存在肉牛原重量这个较好的辅助变量，所以回归估计量
??
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