名师总结 优秀知识点
必修5 数列础知识归纳
数列的定义 数列的概念 数列的分类 数列的性质 等差数列与等比数列的概念 等差数列与等比数列 等差数列与等比数列的性质 等差数列与等比数列的基本运算 数 列 倒序相加 错位相减 数列的求和 裂项相消 其他方法 数列应用
一、数列的有关概念：
1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列．
(1) 数列中的每个数都叫这个数列的项．记作an，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，…，序号为n的项叫第n项(也叫通项)，记作an． (2) 数列的一般形式：a1，a2，a3，…，an，…，简记作{an}．
2．通项公式的定义：如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这
个公式就叫这个数列的通项公式．
说明：(1) {an}表示数列，an表示数列中的第n项，an = f(n)表示数列的通项公式；
(2) 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一．例如，an = (? 1)n =???1,n?2k?1(k?Z)；
1,n?2k?(3) 不是每个数列都有通项公式．例如，1，1.4，1.41，1.414，…．
(4) 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N*(或它的有限子集)的函数f(n)，当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…．通常用an来代替f(n)，其图象是一群孤立的点．
3．数列的分类：
(1) 按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；
(2) 按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列．
4．递推公式的定义：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项
an ? 1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 5．数列{an}的前n项和的定义：Sn = a1 + a2 + a3 + … +an =?ak称为数列{an}的前n项和．要
k?1n理解Sn与an之间的关系． 6．等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么．2．项起．．．．
名师总结 优秀知识点
这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 即：{an}为等比数列? an + 1 ? an = d ? 2an + 1 = an + an + 2 ? an = kn + b ? Sn = An2 + Bn． 7．等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么．2．项起．．．．这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．公比通常用字母q表示(q ? 0)，即：{an}为等比数列? an + 1 ：an = q (q ? 0) ?an?12?anan?2．
注意条件“从第2项起”、“常数”q．由定义可知：等比数列的公比和项都不为零． 二、等差、等比数列的性质： 等差数列(AP) 等比数列(GP) 通项公式 an = a1qn ? 1 (a1 ? 0，q ? 0) an = a1 + (n ? 1)d 前n项和 n(a1?an)n(n?1)Sn??na1?d22 ?na1,q?1,?Sn??a1(1?qn) ,q?1.?1?q?①an = am + (n ? m)d ①an = amqn ? m ②m + n = s + t，则am + an = as + ②m + n = s + t，则am ? an = as ? at at 性质 ③Sm，S2m ? Sm，S3m ? S2m，…成③Sm，S2m ? Sm，S3m ? S2m，…成GP AP (q ? ?1或m不为偶数) ④ak，ak + m，ak + 2m，…成AP，d? ④ak，ak + m，ak + 2m，…成GP，q? = qm = md 注：1．等差(等比)数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差(等比)数列． 2．三个数成等差的设法：a ? d，a，a + d；四个数成等差的设法：a ? 3d，a ? d，a + d，
a + 3d；
3．三个数成等比的设法：a/q，a，aq；四个数成等比的错误设法：a/q3，a/q，aq，aq3 (为什么？)
4．{an}为等差数列，则?ca? (c > 0)是等比数列．
5．{bn} (bn > 0)是等比数列，则{logcbn} (c > 0且c?1) 是等差数列．
6．公差为d的等差数列{an}中，若d > 0，则{an}是递增数列；若d = 0，则{an}是常数列；
若d < 0，则{an}是递减数列． 7．等比数列{an}中，若公比为q，则
(1) 当a1 > 0，q > 1或a1 < 0，0 < q < 1时为递增数列； (2) 当a1 < 0，q > 1或a1 > 0，
0 < q < 1时为递减数列；
(3) 当q < 0时为摆动数列； (4) 当q = 1时为常数列． 8．等差数列前n项和最值的求法：
(1) a1 > 0，d < 0时，Sn有最大值；a1 < 0，d > 0时，Sn有最小值． (2) Sn最值的求法：
① 若已知Sn，可用二次函数最值的求法(n ? N*)；
n② 若已知an，则Sn取最值时n的值(n ? N*)可如下确定：Sn最大值?值??an?0)． a?0?n?1?an?0(或Sn最小a?0?n?1三、常见数列通项的求法：
1．定义法(利用AP，GP的定义)． 2．累加法(an + 1 ? an = cn型)：an = a1 + (a2 ? a1) + (a3 ? a2) + … + (an ? an ? 1) = a1 + c1 + c2 + … + cn ? 1(n ? 2)．
名师总结 优秀知识点
3．公式法：an??(n?1)?S1．
S?S(n?2)n?1?n4．累乘法(an?1?cn型)：an = a1 ?2?3??n= a1 ? c1 ? c2 ? …? cn ? 1(n ? 2)．
a1a2an?1an5．待定系数法：an + 1 = qan + b (q ? 0，q ? 1，b ? 0)型，转化为an + 1 + x = q(an + x)．可
以将其改写变形成如下形式： an + 1 +
b= q(an +b)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式． q?1q?1aaa6．间接法(例如：an + 1 ? an = 4an + 1an ?1?1??4)．
an?1an四、数列的求和方法：除化归为等差数列或等比数列求和外，还有以下一些常用方法：
1．拆项求和法(an = bn ? cn)：将一个数列拆成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数数列等等)，然后分别求和．如an = 2n + 3n．
2．并项求和法：将数列的相邻两项(或若干项)并成一项(或一组)先求和，然后再求Sn． 如“Sn?12?22?32?42?52?62??(2n?1)2?(2n)2”的求和．
3．裂项相消法：将数列的每一项拆(裂开)成两项之差，即an = f(n + 1) ? f(n)，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项．用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项，
如：an?11111?(?)、=1(An?B)(An?C)C?BAn?BAn?Cn(n?1)n?
1、1?1(a?b)等． n?1a?ba?b4．错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个
位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法．对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错位相减法．即错位相减法一般只要求解决下述数列的求和：若an = bncn，其中{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，则数列{an}的求和运用错位相减法．
记Sn = b1c1 + b2c2 + b3c3 + … + bncn，则qSn = b1c2 + b2c3 + … + bn ? 1cn + bncn + 1，… 如an = (2n ? 1) ? 2n．
5．倒序相加法：将一个数列的倒数第k项(k = 1，2，3，…，n)变为顺数第k项，然后将得到的新数列与原数列相加，这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法． 注意：(1) “数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理论，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中．
(2) “错位”与“倒序”求和的方法是比较特殊的方法．
(3) 数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适的方法． (4) 重要公式：
① 1 + 2 + … + n =1n(n + 1)； ② 12 + 22 + … + n2 =1n(n + 1)(2n + 1)；③ 13 + 23 + … +
26n3 = (1 + 2 + … + n)2 =1n2(n + 1)2；
4*④ 等差数列中，Sm + n = Sm + Sn + mnd；
*⑤ 等比数列中，Sm + n = Sn + qnSm = Sm + qmSn． 五、分期付款(按揭贷款)：每次还款x?ab(1?b)n元(贷款
(1?b)n?1a元，n次还清，每期利率为b)．