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课时跟踪检测（十五） 函数模型及其应用
1.(2018·福州期末)某商场销售A型商品.已知该商品的进价是每件3元,且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/元 日均销售量/件 4 400 5 360 6 320 7 280 8 240 9 200 10 160 请根据以上数据分析,要使该商品的日均销售利润最大,则此商品的定价(单位：元/件)应为( )
A.4 C.8.5
B.5.5 D.10
解析：选C 由数据分析可知,当单价为4元时销售量为400件,单价每增加1元,销售量就减少40件.设定价为x元/件时,日均销售利润为y元,则y＝(x－3)·[400－(x－4)·40]＝－1717
x－?2＋1 210,故当x＝＝8.5时,该商品的日均销售利润最大,故选C. 40?2??2
2.(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米3元收费；用水超过10立方米的,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月的水费为55元,则该职工这个月实际用水为( )
A.13立方米 C.15立方米
B.14立方米 D.16立方米
解析：选C 设该职工某月的实际用水为x立方米时,水费为y元,
???3x，0≤x≤10，?3x，0≤x≤10，
?由题意得y＝即y＝? ?30＋5?x－10?，x>10，?5x－20，x>10.??
易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米,所以5x－20＝55,解得x＝15. 3.利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间,年生产的总成本y(万元)与年产量x2
x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4 000,则每吨的成本最低时的年产量为( )
10
A.240吨 C.180吨
B.200吨 D.160吨
yx4 000
解析：选B 依题意,得每吨的成本为x＝＋x－30,
10y则 ≥2
x
x4 000 ·－30＝10,
x10
x4 000
当且仅当＝x,即x＝200时取等号,
10因此,当每吨成本最低时,年产量为200吨.
4.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过
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程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为P＝P0e
－kt
(k,P0均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%,那么排放前至
少还需要过滤的时间是( )
1
A.小时 2C.5小时
5
B.小时
9 D.10小时
解析：选C 由题意,前5个小时消除了90%的污染物. ∵P＝P0e
－kt
,
－5k
∴(1－90%)P0＝P0e∴0.1＝e
－5k
,
,即－5k＝ln 0.1,
1
∴k＝－ln 0.1. 5由1%P0＝P0e
－kt
,即0.01＝e
－kt
,得－kt＝ln 0.01,
1
ln 0.1?t＝ln 0.01,∴t＝10. ∴??5?
∴排放前至少还需要过滤的时间为t－5＝5(时).
5.(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为 y＝alog2(x＋1),若这种动物第1年有100只,则到第7年它们发展到________只.
解析：由题意,得100＝alog2(1＋1),解得a＝100,所以y＝100log2(x＋1),当x＝7时,y＝100log2(7＋1)＝300,故到第7年它们发展到300只.
答案：300
6.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克.
解析：前10天满足一次函数关系,设为y＝kx＋b,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式
??10＝k＋b，20702070190
得?解得k＝,b＝,所以y＝x＋,则当x＝6时,y＝.
99999?30＝10k＋b，?
答案：
190
9
7.候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的Q
飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a,b是实数).据统
10计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a,b的值；
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(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,求其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位, 30
故有a＋blog3＝0,即a＋b＝0.
10当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s, 90
故a＋blog3＝1,整理得a＋2b＝1.
10
???a＋b＝0，?a＝－1，?解方程组得? ???a＋2b＝1，?b＝1.
(2)由(1)知,v＝a＋blog3＝－1＋log3. 1010所以要使飞行速度不低于2 m/s,则有v≥2, Q
所以－1＋log3≥2,
10
即log3≥3,解得≥27,即Q≥270.
1010
所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要270个单位. 8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动,其移动速度v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积为时间t内台风所经过的路程s(单位：km).
(1)当t＝4时,求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场台风是否会侵袭到N城,如果会,在台风发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会,请说明理由.
解：(1)由图象可知,直线OA的方程是v＝3t(0≤t≤10),直线BC的方程是v＝－2t＋70(20 1 当t＝4时,v＝12,所以s＝×4×12＝24. 213 (2)当0≤t≤10时,s＝×t×3t＝t2； 22 1 当10 2 1 当20 2综上可知,s随t变化的规律是