初中数学竞赛讲座数论的方法技巧(上)附答案

数学竞赛讲座数论的方法技巧(上)

数论是研究整数性质的一个数学分支,它历史悠久,而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明,“很多数论问题可以从经验中归纳出来,并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚,但要证明它却远非易事”。因而有人说:“用以发现天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生,如能把当今任何一本数论教材中的习题做出,就应当受到鼓励,并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中,数论问题总是占有相当大的比重。 小学数学竞赛中的数论问题,常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有: 1.带余除法:若a,b是两个整数,b>0,则存在两个整数q,r,使得a=bq+r(0≤r<b),且q,r是唯一的。

特别地,如果r=0,那么a=bq。这时,a被b整除,记作b|a,也称b是a的约数,a是b的倍数。

2.若a|c,b|c,且a,b互质,则ab|c。

3.唯一分解定理:每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即

其中p1<p2<?<pk为质数,a1,a2,?,ak为自然数,并且这种表示是唯一的。(1)式称为n的质因数分解或标准分解。

4.约数个数定理:设n的标准分解式为(1),则它的正约数个数为: d(n)=(a1+1)(a2+1)?(ak+1)。

5.整数集的离散性:n与n+1之间不再有其他整数。因此,不等式x<y与x≤y-1是等价的。

下面,我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。 一、利用整数的各种表示法

对于某些研究整数本身的特性的问题,若能合理地选择整数的表示形式,则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有: 1.十进制表示形式:n=an10n+an-110n-1+?+a0; 2.带余形式:a=bq+r;

4.2的乘方与奇数之积式:n=2mt,其中t为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张,每张上写有1个数字,小明将这4张卡片如下图放置,使它们构成1个四位数,并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现,无论白色卡片上是什么数字,计算结果都是1998。问:红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字?

解:设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3,a2,a1,a0,则这个四位数可以写成:1000a3+100a2+10a1+a0,它的各位数字之和的10倍是10(a3+a2+a1+a0)

1

=10a3+10a2+10a1+10a0,这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是:990a3+90a2-9a0=1998,110a3+10a2-a0=222。

比较上式等号两边个位、十位和百位,可得a0=8,a2=1,a3=2。

所以红色卡片上是2,黄色卡片上是1,蓝色卡片上是8。

例2 在一种室内游戏中,魔术师请一个人随意想一个三位数abc(a,b,c依次是这个数的百位、十位、个位数字),并请这个人算出5个数acb,bac,bca,cab与

cba的和N,把N告诉魔术师,于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc。现在设N=3194,请你当魔术师,求出数abc来。 解:依题意,得

a+b+c>14,

说明:求解本题所用的基本知识是,正整数的十进制表示法和最简单的不定方程。

例3 从自然数1,2,3,?,1000中,最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除? 解:设a,b,c,d是所取出的数中的任意4个数,则a+b+c=18m,a+b+d=18n,其中m,n是自然数。于是c-d=18(m-n)。

上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数,即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r,则a=18a1+r,b=18b1+r,c=18c1+r, 其中a1,b1,c1是整数。于是a+b+c=18(a1+b1+c1)+3r。

因为18|(a+b+c),所以18|3r,即6|r,推知r=0,6,12。因为1000=55×18+10,所以,从1,2,?,1000中可取6,24,42,?,996共56个数,它们中的任意3个数之和能被18整除。

例4 求自然数N,使得它能被5和49整除,并且包括1和N在内,它共有10个约数。

解:把数N写成质因数乘积的形式:N=2a1?3a2?5a3?7a4???Pnn

2

a 由于N能被5和72=49整除,故a3≥1,a4≥2,其余的指数ak为自然数或零。依题意,有(a1+1)(a2+1)?(an+1)=10。

由于a3+1≥2,a4+1≥3,且10=2×5,故a1+1=a2+1=a5+1=?=an+1=1, 即a1=a2=a5=?an=0,N只能有2个不同的质因数5和7,因为a4+1≥3>2,故由(a3+1)(a4+1)=10知,a3+1=5,a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2,a4+1=5,即N=5×7=5×7=12005。

例5 如果N是1,2,3,?,1998,1999,2000的最小公倍数,那么N等于多少个2与1个奇数的积?

解:因为2=1024,2=2048>2000,每一个不大于2000的自然数表示为质因数相乘,其中2的个数不多于10个,而1024=2,所以,N等于10个2与某个奇数的积。 说明:上述5例都是根据题目的自身特点,从选择恰当的整数表示形式入手,使问题迎刃而解。 二、枚举法

枚举法(也称为穷举法)是把讨论的对象分成若干种情况(分类),然后对各种情况逐一讨论,最终解决整个问题。

运用枚举法有时要进行恰当的分类,分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质,降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类,按奇偶性分类及按数值的大小分类等。

例6 求这样的三位数,它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。 分析与解:三位数只有900个,可用枚举法解决,枚举时可先估计有关量的范围,以缩小讨论范围,减少计算量。

设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x,y,z。由于任何数除以11所得余数都不大于10,所以x2+y2+z2≤10,

从而1≤x≤3,0≤y≤3,0≤z≤3。所求三位数必在以下数中:

100,101,102,103,110,111,112,120,121,122,130,200,201,202,211,212,220,221,300,301,310。 不难验证只有100,101两个数符合要求。

例7 将自然数N接写在任意一个自然数的右面(例如,将2接写在35的右面得352),如果得到的新数都能被N整除,那么N称为魔术数。问:小于2000的自然数中有多少个魔术数?

2-1

5-1

410

11

10

解:设P为任意一个自然数,将魔术数N(N<2000=接后得PN,下面对N为一位数、两位数、三位数、四位数分别讨论。

?当N为一位数时,PN=10P+N,依题意N︱PN,则N︱10P,由于需对任意数P成立,故N︱10,所以N=1,2,5;

?当N为两位数时,PN=100P+N,依题意N︱PN,则N︱100P,故N|100,所以N=10,20,25,50;

?当N为三位数时,依题意N︱PN,则N︱1000P,故N|1000,PN=1000P+N,所以N=100,125,200,250,500;

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