高一数学易错、易混、易忘典型题目
数学易错公式及知识点速记
高一数学易错、易混、易忘典型题目
【易错、易混、易忘典型题目】
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
2例1、 设A?x|x?8x?15?0，B??x|ax?1?0?，若A??B?B，求实数a组成
的集合的子集有多少个？
【易错点分析】此题由条件AB?B易知B?A，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。 解析：集合A化简得A??3,5?，由AB?B知B?A故（Ⅰ）当B??时，即方程ax?1?0无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B??时，即方程ax?1?0的解为3或5，代入得a?13或
1?11?3。综上满足条件的a组成的集合为?0,,?，故其子集共有2?8个。 5?35?【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝Ｂ?A∩B＝Ａ?ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．
（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：A???x,y?|x2?y2?4?，
B???x,y?|?x?3???y?4?22?r2，其中r?0,若AB??求r的取值范围。将集合
?所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。
222【练1】已知集合A?x|x?4x?0、B?x|x?2?a?1?x?a?1?0，若B?A，
????则实数a的取值范围是 。答案：a?1或a??1。 【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。 例2、已知?x?2?2y2??1,求x2?y2的取值范围 4【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，
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但极易忽略x、y满足?x?2?围的扩大。 解析：由于?x?2?+
22y2??1这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范4y2y22??1得(x+2)=1-≤1，∴-3≤x≤-1从而x2+y2=-3x2-16x-12= 4428828222222
因此当x=-1时x+y有最小值1, 当x=-时，x+y有最大值。故x+y的取值范33328围是[1, ]
32【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件?x?2?y2??1对x、4y的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，?2?y?2。此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。 【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
a?2x?1?1例3、 f?x??是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数f?x? x1?2【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。
解析：（1）利用f?x??f??x??0（或f?0??0）求得a=1.
2x?11?yxx（2）由a?1即f?x??x，设y?f?x?,则2?1?y??1?y由于y?1故2?，
2?11?yx?log21?y1?y1?x22x?1?1?1?x???1,1?所以f?x??log21?x??1?x?1? ，而f?x??x2?12?1【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数
的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R可省略）。 （2）应用f?1(b)?a?f(a)?b可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。
【练3】（2004全国理）函数f?x??22x?1?1?x?1?的反函数是（）
A、y?x?2x?2?x?1? B、y?x?2x?2?x?1? C、y?x?2x?x?1? D、y?x?2x?x?1?
22答案：B
【易错点4】求反函数与反函数值错位
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例4、已知函数f?x??1?2x，函数y?g?x?的图像与y?f?1?x?1?的图象关于直线1?xy?x对称，则y?g?x?的解析式为（）
A、g?x??3?2x2?x1?x3 B、g?x?? C、g?x?? D、g?x?? x1?x2?x2?x【易错点分析】解答本题时易由y?g?x?与y?f?1?x?1?互为反函数，而认为
y?f?1?x?1?的反函数是y?f?x?1?则y?g?x?=f?x?1?=?而错选A。
1?2?x?1?1??x?1??3?2xx1??x?1?2?x1?2x1?x?1?1解析：由f?x??得f?x??从而y?f?x?1??再求?1?x2?x2???1?1?xy?f?1?x?1?的反函数得g?x??2?x。正确答案：B 1?x【知识点分类点拔】函数y?f?1?x?1?与函数y?f?x?1?并不互为反函数，他只是表示f则f?1这是因为由求反函数的过程来看：设y?f?x?1??x?中x用x-1替代后的反函数值。
?1?y??x?1，
x?f?1?y??1再将x、y互换即得y?f?x?1?的反函数为y?f?1?x??1，故y?f?x?1?的反函数不是y?f?1?x?1?，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。
【练4】（2004高考福建卷）已知函数y=log2x的反函数是y=f(x)，则函数y= f(1-x)的
图象是（）
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答案：B
【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。 例5、 判断函数f(x)?lg?1?x2?x?2?2的奇偶性。
【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：
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