第六章 近独立粒子的最概然分布
6.1 试根据式()证明:在体积V内,在?到ε+dε的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为
解: 式()给出,在体积V?L3内,在px到px?dpx,py到py?dpy,px到px?dpx的动量范围内,自由粒子可能的量子态数为
Vdpxdpydpz. (1) 3h用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量,并对动量方向积分,可得在体积V内,动量大小在p到p?dp范围内三维自由粒子可能的量子态数为
4πV2pdp. (2) h3上式可以理解为将?空间体积元4?Vp2dp(体积V,动量球壳4πp2dp)除以相格大小h3而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为 因此
将上式代入式(2),即得在体积V内,在?到??d?的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为
132πVD(?)d??3?2m?2?2d?. (3)
h 6.2 试证明,对于一维自由粒子,在长度L内,在?到??d?的能量范围内,量子态数为
解: 根据式(),一维自由粒子在?空间体积元dxdpx内可能的量子态数为
在长度L内,动量大小在p到p?dp范围内(注意动量可以有正负两个可能的方向)的量子态数为
将能量动量关系 代入,即得
D???d??2L?m???d?. (2) h?2??122Ldp. (1) h 6.3 试证明,对于二维的自由粒子,在面积L2内,在?到??d?的
能量范围内,量子态数为
解: 根据式(),二维自由粒子在?空间体积元dxdydpxdpy内的量子态数为
1dxdydpxdpy. (1) 2h用二维动量空间的极坐标p,?描述粒子的动量,p,?与px,py的关系为
用极坐标描述时,二维动量空间的体积元为
在面积L2内,动量大小在p到p?dp范围内,动量方向在?到??d?范围内,二维自由粒子可能的状态数为
L2pdpd?. (2) h2对d?积分,从0积分到2π,有
可得在面积L2内,动量大小在p到p?dp范围内(动量方向任意),二维自由粒子可能的状态数为
将能量动量关系 代入,即有
2πL2D???d??2md?. (4)
h2πL2pdp. (3) h2 6.4 在极端相对论情形下,粒子的能量动量关系为 试求在体积V内,在?到的能量范围内三维粒子的量子态数. 解:式()已给出在体积V内,动量大小在p到p?dp范围内三维自由粒子可能的状态数为
4?V2pdp. (1) 3h将极端相对论粒子的能量动量关系
代入,可得在体积V内,在?到??d?的能量范围内,极端相对论粒子的量子态数为
D???d??4πV?ch?3?2d?. (2)
6.5 设系统含有两种粒子,其粒子数分别为N和N?. 粒子间的相互作用很弱,可以看作是近独立的. 假设粒子可以分辨,处在一个个体量子态的粒子数不受限制. 试证明,在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为 和
其中?l和?l?是两种粒子的能级,?l和?l?是能级的简并度.
解: 当系统含有两种粒子,其粒子数分别为N和N?