实验八 控制系统设计系统根轨迹校正和仿真
一、实验目的
1、 学习利用实验探索研究控制系统的方法； 2、 学会控制系统数学模型的建立及仿真； 3、 熟悉并掌握控制系统频域特性的分析； 4、 采用PID算法设计磁悬浮小球控制系统；
5、 了解PID控制规律和P、I、D参数对控制系统性能的影响； 6、 学会用Simulink来构造控制系统模型。
二、实验设备
（1）磁悬浮实验装置 （2）计算机 （3）软件要求：Matlab6.5以上版本软件，VC++6.0软件，板卡自带Device Manager，PCL1711驱动程序，固高磁悬浮实时控制软件。
三、实验原理
3.1 磁悬浮系统组成
磁悬浮实验装置主要由LED光源、电磁铁、光电位置传感器、电源、放大及补偿装置、数据采集卡和控制对象（钢球）等元件组成。它是一个典型的吸浮式悬浮系统。系统组成见图7-1。
图7-1 磁悬浮实验装置系统组成部分 图7-2 磁悬浮实验系统结构图
电磁铁绕组中通过一定的电流会产生电磁力F，只要控制电磁铁绕组中的电流，使之产生的电磁力与钢球的重力mg相平衡，钢球就可以悬浮在空中而处于平衡状态。为了得到一个稳定的平衡系统，必须实现闭环控制，使整个系统稳定
3.2 实验前连线准备
1、检查磁悬浮本体右侧船型电源开关，打到关闭OFF状态。
2、进行数字量控制实验时，开关打到Dig档，用配套电缆将插在PC中的数据采集卡和磁悬浮实验本体连接起来。
3、进行模拟量控制实验时，开头打到Ana档，用配套相应电缆将模拟量控制模块和磁悬浮实验本体连接起来。
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3.3 磁悬浮系统模型
忽略小球受到的其它干扰力，则受控对象小球在此系统中只受电磁吸力F和自身重力mg。球在竖直方向的动力学方程可以如下描述：
d2x?t?m?mg?F?i,x?dt2?1?
式中：x——磁极到小球的气隙，单位m；m——小球的质量，单位Kg；F(i,x)——电磁吸力，单位N；g——重力加速度，单位m/s2。
由磁路的基尔霍夫定律、毕奥-萨格尔定律和能量守恒定律，可得电磁吸力为：
F?i,x????0AN2?i?2???x?2?2?
式中：μ0——空气磁导率，4πX10-7H/m；A——铁芯的极面积，单位m2；N——电磁铁线圈匝数；x——小球质心到电磁铁磁极表面的瞬时气隙，单位m；i——电磁铁绕组中的瞬时电流，单位A。
根据基尔霍夫定律，线圈上的电路关系如下：
U?t??Ri?t??Ldi?t?dt?3?
式中：L——线圈自身的电感，单位H；i——电磁铁中通过的瞬时电流，单位A；R——电磁铁的等效电阻，单位Ω。
当小球处于平衡状态时，其加速度为零，即所受合力为零，小球的重力等于小球受到的向上电磁吸力，即：
mg?F?i0,x0????0AN?i0?2??x???0?22?4?
综上所述，描述磁悬浮小球系统的方程可完全由下面方程确定：
?d2x?t??mg?F?i,x??m2dt?2??0AN2?i????F?i,x???2?x????U?t??Ri?t??Ldi?t??dt?2?mg?F?i,x????0AN00?2??5?
?i0??x?0????2此磁悬浮系统是一典型的非线性系统，如果我们欲用线性理论来求解此系统，得：
(6)
式中，Ki 为平衡点处电磁力对电流的刚度系数，Kx为平衡点处电磁力对气隙的刚度系数。
取系统状态变量分别为
，系统的状态方程如下：
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(7) 可以看出系统有一个开环极点位于复平面的右半平面，根据系统稳定性判 据，即系统所有的开环极点必须位于复平面的左半平面时系统才稳定，所以磁悬 浮球系统是本质不稳定的。
由于电磁铁为感性负载，实际上励磁线圈的电感作用将阻止任何时刻电流的 突变，实际上电感作用不可忽视。因此电流模型与实际工作状况相比有微小的差 别。
系统物理参数
表1 实际系统物理参数 序号 1 2 3 4 5 6 m R L x0 i0 k 参数 22 13.8 118 20 0.64105 2.314x10-4 数值 g Ω mH mm A Nm2/A2 单位 实际系统模型可将以上参数代入可得到
由
(8)
可得系统传递函数为：
(9)
(10)
将以上参数值代入有
(11)
3.4 PID控制器设计
一、PID控制器的基本原理
在工业控制中，应用最广泛和成熟的控制器是PID控制器，即比例-积分-微分控制。PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值和实际值构成控制偏差，将偏差的比例、积分和微分通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制。
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图8.1 PID控制系统原理图
常规PID控制系统原理框图如图8.1所示，系统主要由PID控制器和被控对 象组成。作为一种线性控制器，他根据设定值ysp(t)和实际输出值 y(t)构成控制 偏差 e(t)，将偏差按比例、积分和微分通过线性组合构成控制量 u(t)，对被控对 象进行控制。控制器的输入和输出关系可描述为：
u(t)?Kp[e(t)?1Ti?t0e(t)dt?Tdde(t)
]dt式中：e(t)=ysp(t)y(t),Kp为比例系数，Ti为积分时间常数，Td为微分时间常数。 比例作用的引入是为了及时成比例的反应控制系统的偏差信号e(t)，以最快的速度产生控制作用，使偏差向减小的方向变化。
积分作用的引入主要是为了保证实际输出值y(t)在稳态是对设定值ysp(t)的无静差跟踪，即主要用于消除系统静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数Ti，Ti越大，积分作用越弱，反之则越强。
微分作用的引入，主要是为了改善闭环系统的稳定性和动态响应速度。反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减少调节时间。
二、PID 控制器的参数整定与仿真
经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型。PID 控制器因其结构简单，容易调节，且不需要对系统建立精确的模型，在控制上应用较广。
对于磁悬浮统输出量为小球的位置所反映的电压变化，在悬浮位置点平衡时重力与
磁力相等。系统控制结构框图如下：
图8.2 磁悬浮闭环系统图
图中 KD(s)是控制器传递函数，G (s)是被控对象传递函数。 考虑到输入r(s)=0，结构图可以很容易的变换成：
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图8.3 磁悬浮闭环系统简化图
该系统的输出为： num G(s)deny(s)?F(s)?F(s) (numPID)(num)1?KD(s)G(s)1? (denPID)(den) num(denPID)?F(s) (denPID)(den)?(numPID)(num)
其中，num——被控对象传递函数的分子项
den——被控对象传递函数的分母项
numPID——PID 控制器传递函数的分子项 denPID——PID 控制器传递函数的分母项
通过分析上式就可以得到系统的各项性能。PID 控制器的传递函数为：
KIKDs2?KPs?KInumPID
KD(s)?KDs?KP??? ssdenPID调试过程中需仔细调节 PID 控制器的参数，以得到满意的控制效果。
四、实验步骤
1、PID控制器程序实现仿真
进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Magnetic Levitation System \\ PID Experiments”中的“PID Control M Files”Simulink仿真。
clear;
num=[77.8421];
den=[0.0311 0 -30.5250];
kd=0.015 % pid close loop system pendant response for impluse signal k=0.8 ki=0.45
numPID= [ kd k ki ]; denPID= [ 1 0 ];
numc= conv ( num, numPID )
denc= polyadd ( conv(denPID, den ), conv( numPID, num ) ) t = 0 : 0.003 : 3; figure(1);
impulse ( numc , denc , t )
记录程序运行结果，在图上读出超调量，峰值时间，调节时间。
2、PID控制器Simulinki仿真
(1) 在 Simulink 中建立如图所示的磁悬浮模型：（进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Magnetic Levitation System\\PID Experiments”。
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