题目：基于FICK定律和高斯烟羽模型的放射性气体扩散研究
摘要
日本核污染扩散问题不仅对该国公众健康造成巨大危害，还对其对外政治关系、全球环境，乃至世界经济格局产生了深远的影响；因此，建立有效的模型模拟放射性气体的扩散，并预测放射性气体在不同地区的浓度变化情况可为决策者提供及时准确的信息，从而尽可能的减少核泄漏带来的损失。
对于问题一，我们对放射性气体的扩散过程进行合理的简化和抽象，在不考虑气体受到的重力、浮力和风速的影响时，气体呈放射状向四周扩散。我们首先考虑质量守恒定律，再由Fick定律求出扩散系数D，进而得出扩散的粒子流量与其浓度梯度的正比关系，得出描述扩散情况的偏微分方程。随后，用傅里叶变换求解得到扩散方程的解，并在MATLAB中绘制此微分方程的图形，发现预测图形与东京市测得的实际数据的图形基本吻合，即离泄漏源越远浓度越低。
对于问题二，要探究风速对放射性物质浓度分布的影响。风速的处理是此问题的核心，因此我们采用大气污染的经典高斯扩散模型。通过查阅相关资料，我们发现连续点源的平均气体流，其浓度分布符合正态分布规律，因此污染物浓度在y、z轴上的分布为正态分布。取烟云轴线为x方向（平均风向），得出无界情况下下风向空间某一点的浓度函数C(x,y,z,H)。同时考虑到泄漏点的高度，对模型进行了修正，得出的浓度分布情况与实际情况相似 。
对于问题三，由问题二得到的浓度分布函数C(x,y,z,H)，可以分上风和下风两种情况，根据当时的实际情况，假设自然风速大于泄露的自身扩散速度，则可将第二问中的风速u替换成k与s的线性组合即可，即下风向的速度为k?s，上风向的速度为k?s。将平均风速u分别代入浓度函数，得出了上风向和下风向L处浓度分布函数。结果显示两个地点气体浓度变化情况与第二问得出的结果一致。
对于问题四，本文参考了大量地理、气象、专题报道等资料。假设风向不随时间变化而变化，即我国东海岸一直处于上风，美国一直处于下风，并且取大气稳定度均在D时的扩散参数。中国取东海岸的上海为例，取纵向位移y?800km，美国取核电站到西海岸的直线距离为8000km，带入第三问的模型可以得出我国东海岸山东半岛辐射浓度的预测值，由于题中的各个参数无法准确设置，所以我们将预测的浓度与东京的值相比得到一个相对值，得出了3月23日上海相对浓度为5?10?2% ，美国西海岸的相对浓度为1.3%。预测结果要比实际结果大，但是与实际值相比可以接受，所以这个结果是合理的。
关键词：气体扩散，Fick定律，高斯烟羽模型，扩散系数，浓度函数
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一、问题重述
2011年3月11日, 日本近海发生9.0级地震并引发了大海啸，沿海的核电站受到破坏，开始释放出大量具有放射性的物质。由于放射性气体泄露事故的发生和发展都具有很大的不确定性，且不随人们的意志为转移，因此事故后果通常都比较严重，会造成人员伤亡并给生态环境带来毁灭性的后果。放射性气体与常规的大气污染物发生污染事故相比具有很多不同之处，正确地分析放射性气体的大气扩散过程，研究其扩散后造成的伤害时期和区域对实际的抢险救灾有很强的指导作用。
题目以日本福岛核泄漏为背景，假设有一座核电站遇自然灾害发生泄漏，给出的已知条件有：放射性气体的浓度为p0，扩散速度为mkgs，在无风的情况下，匀速在大气中向四周扩散, 速度为sms。
1）请你建立一个描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。
2）当风速为k m/s时，给出核电站周边放射性物质浓度的变化情况。 3）当风速为k m/s时，分别给出上风和下风L公里处，放射性物质浓度的预测模型。
4）将你建立的模型应用于福岛核电站的泄漏，计算出福岛核电站的泄漏对日本本土、我国东海岸、及美国西海岸的影响。
二、问题分析
2.1问题的重要性分析（社会背景）
3月11日发生在日本的特大地震成为全世界关注的焦点，大地震发生后，福岛第一核电站机组相继发生爆炸，使人们产生了对“核爆炸”的恐惧。对此，各国为预防日本核泄漏对环境和人类的影响采取积极措施：韩国100所学校因担心“辐射鱼”临时停课；印度全面禁止进口日本食品；巴西、俄罗斯、新加坡等国相继对部分日本食品采取了进口限制措施。由此可见，日本核已对各国的经济社会和人民生活均受到了不同程度的影响，为了尽量减轻核危机造成的不便和损失，及时准确的预测核辐射对不同地区的污染程度已成亟待解决的问题。
2.2有关方面在这个问题上做过的研究
张子波、李自立等人曾研究了一种适合计算天然气扩散的模型，考虑了初始喷射和浮力对扩散的影响，用流体计算软件FLUENT计算一个约700m*200m*300m的扩散区域的浓度场，8核的计算机计算完毕用时24h。因此，用此类方法计算天然气泄露后扩散的浓度场时，达不到“实时”计算的效果，很容易厌恶应急指挥决策的时机，增大产生爆炸事故的机率[4]。而我们建立的模型不仅具有实时性，更具有前瞻性，能较为准确的预测放射性气体在不同时间，不同地区的浓度。
有学者采用有限元方法数值模拟气体的泄露扩散过程，但此方法只能针对特
[1]定装置，缺乏通用性。我们组运用的高斯烟羽模型能推广到一般，用于描述不同背景下的气体扩散问题。
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2.3问题分析
对于问题一，首先，确定此问题实际上是一个点源连续泄露的扩散问题，需要建立一个简单直观的模型对核电站周边不同地区、不同时段放射性气体浓度进行描述与预测。在无风的情况下，放射性气体以恒定的速率，在大气中匀速向各个方向呈放射状扩散。考虑到模型的一般性和简洁性，我们忽略了放射性气体在空气中受到的重力和浮力、核电站的高度、地面物体的高度以及地形的变化等因素，把放射性气体的影响范围假想成一个从球心不断向外各个方向均匀扩大的半球体，建立扩散模型，根据Fick定律和傅里叶变换求出放射性气体的浓度方程。
对于问题二，题目引入了风速变量对放射性气体浓度的影响，选取高斯连续点源扩散模型进行分析，这也是在考虑风速时，气体扩散模型中最为经典的模型之一。在不考虑垂直风速，假设空间放射性气体的浓度服从高斯分布的前提下，运用高斯模型可以合理的计算出核电站周边地区的放射性气体浓度。
对于问题三， 本文直接用第二问的模型来预测上风和下风 公里处，放射性物的浓度。
对于问题四，我们将第二问的模型应用于福岛核电站的泄漏，通过参考世界地图的距离，计算出福岛核电站的泄漏对日本本土、我国东海岸、及美国西海岸的影响。
三、基本假设
（1） 连续泄露时放射性气体泄露的速率恒定；
（2） 放射性气体在平整、无障碍的地面上空扩散；
（3） 气体在空气中不发生化学反应，地面及地标地物对放射性气体无吸收； （4） 风向水平，风速和风向恒定。
（5） 污染源的源强是连续且均匀的，初始时刻放射性气体内部的浓度、温度呈
均匀分布。
（6） 风速大于无风情况下放射性气体扩散的速度。
四、符号说明
4.1模型一符号说明
t
u x s P C(x,t) q(x,t)
?M
从释放污染物开始的时间（天） 放射性气体边缘经过的距离（公里） 放射性气体和核电站之间的距离 在时间t放射性气体的范围 核电站附近上空放射性气体的浓度 时刻t在位置x污染物的相对浓度 粒子流量
在时间区间?t内物质的净减少量
C Q
?
y放射性气体浓度 源强
水平方向扩散参数
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