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习题1解答
1. 写出下列随机试验的样本空间?：
（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；
（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆任意取一点，记录它的坐标.
解：（1）以n表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n，所以该试验的样本空间为
i??{|i?0,1,2,L,100n}.
n（2）设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为
??{10?k|k?0,1,2,L}，
或写成??{10,11,12,L}.
（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为
??{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}.
（3）取直角坐标系，则有??{(x,y)|x?y?1}，若取极坐标系，则有
22??{(?,?)|0???1,0???2π}.
2．设A、B、C为三事件，用A、B、C及其运算关系表示下列事件. (1) A发生而B与C不发生； (2) A、B、C中恰好发生一个； (3) A、B、C中至少有一个发生； (4) A、B、C中恰好有两个发生； (5) A、B、C中至少有两个发生； (6) A、B、C中有不多于一个事件发生.
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解：(1)ABC或A?B?C或A?(BUC)； (2)ABCUABCUABC；
(3)AUBUC或ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC；(4)ABC(5)ABUABCUABC. UABCUABCUABC.
UACUBC或ABCUABCUABCUABC；
(6)ABC3．设样本空间??{x|0?x?2}，事件A?{x|0.5?x?1}，B?{x|0.8?x?1.6}，具体写出下列事件：
(1)AB；（2）A?B；（3）A?B；（4）AUB. 解：（1）AB?{x|0.8?x?1}； （2）A?B?{x|0.5?x?0.8}；
（3）A?B?{x|0?x?0.5或0.8?x?2}； （4）AUB?{x|0?x?0.5或1.6?x?2}.
4. 一个样本空间有三个样本点， 其对应的概率分别为2p,p,4p?1， 求p的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以
22p?p2?4p?1?1.
解之得p1??3?11,p2??3?11，又因为一个事件的概率总是大于0，所以
p??3?11. 5. 已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，P(AUB)=0.8，求(1)P(AB)；(2)P(A?B)； (3)P(AB).
解：(1)由P(AUB)?P(A)?P(B)?P(AB)得
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P(AB)?P(A)?P(B)?P(AUB)?03?0.5?0.8?0.
(2) P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.3?0?0.3. (3) P(AB)?1?P(AB)?1?P(AUB)?1?0.8?0.2. 6. 设P(AB)=P(AB)，且P(A)?p，求P(B).
解：由P(AB)=P(AB)?1?P(AB)?1?P(AUB)?1?P(A)?P(B)?P(AB)得
P(A)?P(B)?1，从而P(B)?1?p.
7. 设3个事件A、B、C，P(A)?0.4，P(B)?0.5，P(C)?0.6，P(AC)?0.2，
P(BC)?0.4且AB??，求P(AUBUC).
解：
P(AUBUC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?0.4?0.5?0.6?0?0.2?0.4?0?0.9.
8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为4个.
以Ai,i?1,2,3表示事件“杯子中球的最大个数为i”，则A1表示每个杯子最多放一个球，共有A4种方法，故
3A46P(A1)?3?.
41633A2表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，
放法总数为C3C4C3种，故
11C32C4C39P(A2)??. 34161A3表示3个球放入同一个杯子中，共有C4种放法，故
2111C41P(A3)?3?.
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9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?
解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为
P?4?9?8?7?4?8?7?9?8?741. ?10?9?8?79010. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.
解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以p?2?4!/5!?2/5.
(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 p?2?3!/5!?1/10.
(3)p?P{第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}?2217???. 551010(4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 P?1?7/10?3/10.
(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以P?1?4!/5!?1/5. 11. 把2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.
解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，
23所以 P?2?A3/A4?1/2.
12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.
解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为9.事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一
7A97位乘客离开电梯”.所以包含A个样本点，于是P(A)?7.
97913. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次,
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求他(她)等待时间短于10分钟的概率.
解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在(0,60), 记 “等待时间短于10分钟”为事件A, 则有??(0,60),A?(50,60)??,于是P(A)?101?. 60614. 甲乙两人相约8?12点在预定地点会面。先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲乙两人能会面的概率．
解:以X,Y分别表示甲、乙二人到达的时刻，那末 8?X?12 ，若以(X,Y)8?Y?12；表示平面上的点的坐标，则样本空间可以用这平面上的边长为4的一个形
??{(X,Y):8?X?12,8?Y?12}表示，二人能会面的充要条件是|X?Y|?1??A??(X,Y):|X?Y|?,8?X?12,8?Y?12?．所以所求的概率为：
2??12??116?24??22???(A)15?P(A)???
?(?)16641，即事件215. 现有两种报警系统A和B，每种系统单独使用时，系统A有效的概率0.92，系统B的有效概率为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求
(1) 这两个系统至少有一个有效的概率; (2) 在B失灵条件下，A有效的概率.
解：设A表示“系统A有效”，B表示“系统B有效”，则
P(A)?0.92,P(B)?0.93,P(B|A)?0.85.
由P(B|A)?P(B)?P(AB)?0.85知P(AB)?0.862.
1?P(A)(1)P(AUB)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.92?0.93?0.862?0.988. (2)P(A|B)?P(A)?P(AB)0.92?0.862??0.8285.
1?P(B)1?0.9316. 已知事件A发生的概率P(A)?0.5，B发生的概率P(B)?0.6，以及条件概率
P(B|A)=0.8，求A,B和事件的概率.
解：由乘法公式得
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