《抽象代数基础》
习题解答
于 延 栋 编
盐城师范学院数学科学学院
二零零九年五月
第一章 群 论
§1 代数运算
1.设A?{e,a,b,c},A上的乘法的乘法表如下: “?”· e e a b a a e c b b b c c b e a b c e a a c “?”证明: 适合结合律.
c e 证明 设x,y,z为A中任意三个元素.为了证明适合结合律,只需证明 “?”(x?y)?z?x?(y?z).
下面分两种情形来阐明上式成立.
I.x,y,z中至少有一个等于e. 当x?e时,(x?y)?z?y?z?x?(y?z); 当y?e时,(x?y)?z?x?z?x?(y?z); 当z?e时,(x?y)?z?x?y?x?(y?z). II.x,y,z都不等于e.
(I)x?y?z.这时,(x?y)?z?e?z?z?x?x?e?x?(y?z). (II)x,y,z两两不等.这时,(x?y)?z?z?z?e?x?x?x?(y?z). (III)x,y,z中有且仅有两个相等.
当x?y时,x和z是{a,b,c}中的两个不同元素,令u表示{a,b,c}中其余的那个元素.于是,(x?y)?z?e?z?z,x?(y?z)?x?u?z,从而,(x?y)?z?x?(y?z).同理可知,当y?z或z?x时,都有(x?y)?z?x?(y?z). “?”2.设是集合A上一个适合结合律的代数运算.对于A中元素,归纳定义
?a为:
ii?1n?r?ai?a1,?ai?????ai???ar?1. i?1i?1?i?1?1r?1证明:
?n?m?n??m????ai??????an?j???ak.
?i?1??j?1?k?1进而证明:在不改变元素顺序的前提下,A中元素的乘积与所加括号无关.
证明 当m?1时,根据定义,对于任意的正整数n,等式成立.
假设当m?r(r?1)时,对于任意的正整数n,等式成立.当m?r?1时,由于适合结合律,我们有 “?”??n??r?1??n??m???a?a?a?a??????i???n?j???i???n?j??
?i?1??j?1??i?1??j?1???r??n??????????ai??????an?j??an?r?1?
?i?1???j?1????n??r???????ai??????an?j????an?r?1 ??????i?1??j?1n?r?1n?m?n?r?????ai???an?r?1??ak??ak.
k?1k?1?i?1?所以,对于任意的正整数n和m,等式成立.
考察A中任意n(n?1)个元素a1,a2,?,an:当n?3时,要使记号
a1?a2???an变成有意义的记号,必需在其中添加一些括号规定运算次序.现在我们来阐明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添加括号,运算结果总是等于?ai.
i?1n事实上,当n?1或n?2时,无需加括号,我们的结论自然成立.当n?3时,由
“?”于适合结合律,我们的结论成立.假设当n?r(r?1)时我们的结论成立.考察
n?r?1的情形:不妨设最后一次运算是a?b,其中a为a1,a2,?,an中前
s(1?s?n)个元素的运算结果,b为a1,a2,?,an中后n?s个元素的运算结果.于是,根据归纳假设,
a??aj, b??as?k.
j?1k?1sn?s?s??n?s?n???as?k?所以最终的运算结果为a?b?????ai. ??aj????i?1?j?1??k?1“?”3.设Q是有理数集.对于任意的a,b?Q,令a?b?a?b2,证明: 是Q上的一个代数运算,它既不适合结合律也不适合交换律.
“?”证明 众所周知,对于任意的a,b?Q,a?b?a?b2?Q.所以是Q上的一个代数运算.令a?0,b?1,c?2.由于
(a?b)?c?(0?1)?2?1?2?1?22?5, a?(b?c)?0?(1?2)?0?5?0?52?25,
“?”从而,(a?b)?c?a?(b?c),所以不适合结合律.由于