习题一解答
1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。 （1）
1
； 32i
（2）
1 3i
；
i 1 i
（3）34i2 5i
2i
； （4）i8 4i 21
i
32i 1
解 （1） 32i 32i32i
1 32i13
所以
Re
1 32i
1 32i
， Im
32i1 3 13arg
2
2 13 3 13
,
13 13 ，
1 1
32i，
32i 13
Arg
1 32i
2
1 32i
2kπ
2
arctan 2k,k 0,1,2,\
3
（2） 1i ii所以
1 i
3i i
3i1i1i(1i)
i 1 33i3 5 i,
2 2 2
3 2 , 5 2 32
2
2
1 3i Rei 1iIm
1 3i i 1i Arg
1 3i i 1i
1 3i i 1i
3 i 5， 1 3i 2 2 i 1i arg
1 3i i 1i
2kπ
52
34，
2
（3） 34i2 5i
2i
arctan 5 2kπ
3
34i2 5i2i
2i2i7 26i 2
7 13i 2 34i2 5i
2i 34i2 5i
2i
1
k 012\. 26 7i
4 2i
所以
ReIm
7 ， 2 13，
34i2 5i
2i 34i2 5i
2i
Arg
34i2 5i
2i
arg
34i2 5i
2i
7 2
l3i
5 29
， 2
26
2kπ 2arctan 7 π 2kπ ,
k 0,1,2,\ .
arctan 267 2k 1
（4）i
4 10
8 2 2
4i i i 14i i 1 3i
1
4
4110i i
所以
4i21 i i
Rei8 4i21 i1,Imi8 4i ii
8
3 1 3i，| i8 4i21 21 i |10
4i21 i
Argi8 4i21 iargi8 4i21 i2kπ arg13i2kπ
= arctan32kπ k 0,1,2,\.
2．如果等式 解：由于
x 1iy 3
53i
x 1iy 353i
53i53i5x 1
3y 3i3x 15y 3
34
x 1iy 31i成立，试求实数 x, y为何值。
5 3i
1 5x 3y 4i3x 5y 181 i 34
比较等式两端的实、虚部，得
5x 3y 4 34 3x 5y 18 34或
5x 3y 38 3x 5y 52
解得 x 1, y 11。
i
3i有这样的性质：-i=i-1=。 4．证明虚单位．证明
1) | z | zz
2
# 6)Re(z) 1 (z z),Im(z) 1 (z z)
2 2i
2
证明：可设 z x iy，然后代入逐项验证。
2是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对那些5．对任何 z，z 2 | z | z
值才成立？
2
解：设 z x iy，则要使 z | z |2成立有
2 2 2 2
x y , xy 0。由此可得 z为实数。 y2 2ixy x 2 y x ，即 x y
6．当| z |1时，求| zn a |的最大值，其中 2 2 n为正整数，a为复数。
iarga
解：由于 z a |z|
n
n
|a|1|a|，且当 z e 时，有
n
iarga
n
n
n z a| e |a|eiarga 1aeiarga 1|a|
故1| a |为所求。
8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 （1）i； （4）1cos
isin0
π；
iπ
（2）-1； （5）
2i
； 1 i
（3）1+ 3 i；
cos5（6）cos3
isin5isin3
2 3
解：（1）i cos π isin π e 2 ；
2
2
（2） 1cosπ isinπ eiπ （3）1i 3 2
1 3 2 i
2
2cos π isin π 2e 3 i
；
3 3
2
π
（4）1cosisin2sin
2sin
i2sin cos 2sin sin icos
2 2 2 2 2 2
isin π
2 1 2 i 1 2
2sin 2
iπ2 e ,(0
π
cos
2 2
2
π)；
（5）
2i
1 i
1 2i1i1i 2
2cos π isin π
4 4
= 2e
（6）
iπ 4
cos5isin5
2 3
cos3isin3
ei5
2
3 i3
ei10/ei9ei19
3
/ e