转《数学奥林匹克专题讲座》十(2009-01-31 12:43:51)
标签：杂谈
分类：他山之石
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第18讲 数学方法选讲（下）
四、从反面考虑
解数学题，需要正确的思路。对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得结论。但是，如果直接从正面不易找到解题思路时，则可改变思维的方向，即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考，从而使问题得到解决。
例1 某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：
每答对一题得4分，不答题得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分。问：此次测验至多有多少种不同的分数？
分析：最高的得分为50分，最低的得分为0分。但并不是从0分到50分都能得到。
从正面考虑计算量较大，故我们从反面考虑，先计算有多少种分数达不到，然后排除达不到的分数就可以了。
解：最高的得分为50分，最低的得分为0分。在从0分到50分这51个分数中，有49，48，47，44，43，39这6种分数是不能达到的，故此次测验不同的分数至多有51-6=45（种）。
例2 一支队伍的人数是5的倍数，且超过1000人。若按每排4人编队，则最后差3人；若按每排3人编队，则最后差2人；若按每排2人编队，则最后差1人。问：这支队伍至少有多少人？
分析：从条件“若按每排4人编队，则最后差3人”的反面来考虑，可理解为“若按每排4人编队，则最后多1人”。同理，按3人、2人排队都可理解为多1人。即总人数被12除余1。这样一来，原题就化为：
一个5的倍数大于1000，且它被12除余1。问：这个数最小是多少？
解：是5的倍数且除以12余1的最小自然数是25。因为人数超过1000，[3，4，5]=60，所以最少有
25+60×17=1045（人）。
例3 在八边形的8个顶点上是否可以分别记上数1，2，…，8，使得任意三个相邻的顶点上的数的和大于13？
解：将八边形的8个顶点上的数依次记为a1，a2，a3，…，a8，则有S=a1+a2+a3+…+a8=1+2+3+…+8=36。
假设任意3个相邻顶点上的数都大于13，因为顶点上的数都是整数，所以
a1+a2+a3≥14；
a2+a3+a4≥14；
……
a7+a8+a1≥14；
a8+a1+a2≥14。
将以上 8个不等式相加，得3S≥112，从而 S＞ 37，这与S=36矛盾。故结论是否定的。
例4 有一个1000位的数，它由888个1和112个0组成，这个数是否可能是一个平方数？
解：假设这个数为A，它是自然数a的平方。
因为A的各位数字之和888是3的倍数，所以a也应是3的倍数。于是a的平方是9的倍数，但888不是9的倍数，这样就产生了矛盾，从而A不可能是平方数。
五、从特殊情况考虑
对于一个一般性的问题，如果觉得难以入手，那么我们可以
先考虑它的某些特殊情况，从而获得解决的途径，使问题得以“突破”，这种方法称为特殊化。
对问题的特殊情况进行研究，一方面是因为研究特殊情况比研究一般情况较为容易；另一方面是因为特殊的情况含有一般性，所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结论或启发解决问题的思路，它是探索问题的一种重要方法。
运用特殊化方法进行探索的过程有两个步骤，即先由一般到特殊，再由特殊到一般。通过第一步骤得到的信息，还要回到一般情况予以解答。
例5 如左下图，四边形ABCD和EFGH都是正方形，且边长均为2cm。又E点是正方形 ABCD的中心，求两个正方形公共部分（图中阴影部分）的面积S。
分析：我们先考虑正方形EFGH的特殊位置，即它的各边与正方形ABCD的各边对应平行的情况（见右上图）。此时，显然有
得出答案后，这个问题还得回到一般情况下去解决，解决的方法是将一般情况变成特殊情况。
解：自E向AB和AD分别作垂线EN和EM（右图），则有
S=S△PME+S四边形AMEQ
又S△PME=S△EQN，故
S=S△EQN+S四边形AMEQ
=S正方形AMEN
例6 是否在平面上存在这样的40条直线，它们共有365个交点？
分析与解：先考虑一种特殊的图形：围棋盘。它有38条直线、361个交点。我们就从这种特殊的图形出发，然后进行局部的调整。
先加上2条对角线，这样就有40条直线了，但交点仍然是361个。再将最右边的1条直线向右平移1段，正好增加了4个交点（见上图）。于是，我们就得到了有365个交点的40条直线。
例7 如右图，正方体的8个顶点处标注的数字为a，b，c，d，e，
求（a+b+c+d）-（e+f+g+h）的值。
分析：从这8个数都相等的特殊情况入手，它们满足题目条件，从而得所求值为0。这就启发我们去说明a+b+c+d=e+f+g+h。
解：由已知得
3a=b+e+d，3b=a+c+f，
3c=b+d+g，3d=a+c+h，
推知
3a+3b+3c+3d=2a+2b+2c+2d+e+f+g+h，
a+b+c+d=e+f+g+h，
（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=0。
例8 将n2个互不相等的数排成下表：
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
an1 an2 an3 … ann
先取每行的最大数，得到n个数，其中最小数为x；再取每列的最小数，也得到n个数，其中最大数为y。试比较x和y的大小。
分析：先讨论n=3的情况，任取两表：
1 3 7 1 2 3