方程的根与零点问题 -2019年高考理科数学解答题训练含答案
一、解答题 1．已知函数（1）当（2）若
时，求
，
的单调区间；
.
有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）记t=lnx+x，通过讨论a的范围，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断a的范围即可． 【详解】 （1）定义域为：当∴
时，在
时为减函数；在
，
.
时为增函数.
③在若
时，由，
可知，
在
时有唯一的一个极小值
，
，
.
只有一个零点；若
时，
无零点；若
，而
而
，∴
在.
，由于和
在时为减函数，可知：时，时
.从
有两个零点，
上各有一个零点.综上讨论可知：
即所求的取值范围是【点睛】
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 2．已知函数(1)若函数(2)证明:方程【答案】(1) 【解析】
，
.
在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
有且只有一个实数根. (2) 见解析
【详解】 (1)由题得,函数由得依题意,得所以所以而即故
时，等号成立，
，
.
在区间
.
,当且仅当
,
的定义域为， ，
恒成立, 内恒成立,
因此实数的取值范围为
令当当所以当故
时, 时, 时, ，
,,有有极小值
， 在区间在区间
内单调递减;
内单调递增，
，
因此又因为当因此函数故方程【点睛】
在区间,且
时,
内单调递增，
,当
时,
,
的图象与直线
有且只有一个实数根.
有且只有一个交点,
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；