规范答题示例10 导数与不等式的恒成立问题
典例10 (12分)设函数f(x)＝emx＋x2
－mx.
(1)证明：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若对于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围． 审题路线图 (1)求导f′?x?＝m?emx－1?＋2x―→讨论m确定f′?x?的符号―→证明结论 (2)条件转化为?|f?x结合?1?知1?－f?x2?|?max≤e－1 f―?x―?―min―＝―f→?0?
??f?m?
1?－f?0?≤e－1，?―→?，
?
f?－1?－f?0?≤e－1
??e－m≤e－1??
e－m＋m≤e－1
―→
构造函数g?t?＝et－t－e＋1
―→研究g?t?的单调性―→
寻求???
g?m?≤0，
??g?－m?≤0
的条件对m讨论得适合条件的范围
规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 (1)证明 f′(x)＝m(emx－1)＋2x.1分 第一步 若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)>0. 求导数：一般先确定函数的若m<0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1>0，f′(x)<0； 定义域，再求f′(x)． 当x∈(0，＋∞)时，emx－1<0，f′(x)>0.4分 第二步 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.6定区间：根据f′(x)的符号分 确定函数的单调性． (2)解 由(1)知，对任意的m，f(x)在[－1,0]上单调递减，在第三步 [0,1]上单调递增， 寻条件：一般将恒成立问题故f(x)在x＝0处取得最小值． 转化为函数的最值问题． 所以对于任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要条第四步 件是 写步骤：通过函数单调性探??求函数最值，对于最值可能?f?1?－f?0?≤e－1，?f?－1?－f?0?≤e－1，8分 ? 在两点取到的恒成立问题，m即???e－m≤e－1，??e－m＋m≤e－1. 可转化为不等式组恒成立. ① 第五步 设函数g(t)＝et－t－e＋1，则g′(t)＝et－1.9分 再反思：查看是否注意定义当t<0时，g′(t)<0；当t>0时，g′(t)>0. 域、区间的写法、最值点的故g(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 探求是否合理等. 经典
―→
经典 又g(1)＝0，g(－1)＝e＋2－e<0，故当t∈[－1,1]时，g(t)≤0. 当m∈[－1,1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；10分 当m>1时，由g(t)的单调性，得g(m)>0，即e－m>e－1； 当m<－1时，g(－m)>0，即e＋m>e－1.11分 综上，m的取值范围是[－1,1].12分 评分细则 (1)求出导数给1分；
(2)讨论时漏掉m＝0扣1分；两种情况只讨论正确一种给2分； (3)确定f′(x)符号时只有结论无中间过程扣1分； (4)写出f(x)在x＝0处取得最小值给1分； (5)无最后结论扣1分； (6)其他方法构造函数同样给分．
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跟踪演练10 (2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x＋aln x.
－m－1mx(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2， 证明：
f?x1?－f?x2?
x1－x2 (1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)， ax2－ax＋1 f′(x)＝－2－1＋＝－. xxx2 1 ①若a≤2，则f′(x)≤0， 当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②若a>2，令f′(x)＝0，得 x＝ a－a2－4 2 或x＝ a＋a2－4 2 . ?a－a2－4??a＋a2－4? 当x∈?0，?∪?，＋∞?时， 22???? f′(x)<0； ?a－a2－4a＋a2－4? 当x∈?，?时，f′(x)>0. 22?? ?a－a2－4??a＋a2－4??a－a2－4a＋a2－4? 所以f(x)在?0，?，?，＋∞?上单调递减，在?，?上单调递增． 2222?????? (2)证明 由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2. 由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x－ax＋1＝0， 所以x1x2＝1，不妨设0 2 经典 由于 f?x1?－f?x2?1ln x1－ln x2 ＝－－1＋a x1－x2x1x2x1－x2 ln x1－ln x2－2ln x2 ＝－2＋a＝－2＋a， x1－x21 －x2 x2 所以 f?x1?－f?x2?1 x1－x2x2 x1 设函数g(x)＝－x＋2ln x， 由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0. 1f?x1?－f?x2?所以－x2＋2ln x2<0，即 x2x1－x2