第一部分 专题七 第3讲
1．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)． 解析：(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.
3
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C9＝84，随机变量X的取值为：0，
－1,1，因此
3
C82
P(X＝0)＝C3＝3，
92C41
P(X＝－1)＝C3＝14，
9
1211
P(X＝1)＝1－14－3＝42. 所以X的分布列为
X P 0 23 －1 114 1 1142 21114则E(X)＝0×3＋(－1)×14＋1×42＝21. 2．(2016·河北石家庄第一次模拟)集成电路E由3个不同的电子元件组成，现112
由于元件老化，3个电子元件能正常工作的概率分别降为2，2，3，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若3个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．
(1)求集成电路E需要维修的概率；
(2)若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用．求X的分布列和期望．
解析：(1)3个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C， 112
则P(A)＝2，P(B)＝2，P(C)＝3.
依题意，集成电路E需要维修有2种情形： ①3个元件都不能正常工作，概率为
1111
P1＝P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝2×2×3＝12； ②3个元件中的2个不能正常工作，概率为 P2＝P(AB C＋ABC＋A BC) ＝P(AB C)＋P(ABC)＋P(ABC) 11111111241＝2×2×3＋2×2×3＋2×2×3＝12＝3，
115
故集成电路E需要维修的概率为P1＋P2＝＋＝. 123125??
(2)设ξ为维修集成电路的个数，则ξ～B?2，12?，
??而
k?5?k?7?2－k
X＝100ξ，P(X＝100k)＝P(ξ＝k)＝C2?12??12?，
????
k＝0,1,2.X的分布列为：
X P 0 49144 100 3572 200 25144 493525250∴E(X)＝0×144＋100×72＋200×144＝3 5250
或E(X)＝100E(ξ)＝100×2×12＝3.
3．(2016·河南开封第一次模拟)为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
日期 温差x/℃ 发芽数y/颗 4月1日 10 23 4月7日 11 25 4月15日 13 30 4月21日 12 26 4月30日 8 16 (1)从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；
(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根^x＋a^； 据这5天中的另3天的数据，求出y关于x的线性回归方程^y＝b
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
^＝
(参考公式：b
i＝1
?xiyi－nx y?xi2－nx2
n
n
^＝y－b^x) ，a
i＝1
解析：(1)所有的基本事件为(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10个．
设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)共3个．
所以P(A)＝
3
. 10
2
3i＝1
(2)由数据得，另3天的平均数x＝12，y＝27,3xy＝972，3x＝432，∑xiyi＝977，∑xi2＝434，
i＝13
^＝所以b
977－9725^5
＝，a＝27－×12＝－3，
2434－4322
5
所以y关于x的线性回归方程为^y＝2x－3.
^(3)依题意得，当x＝10时，^y＝22，|22－23|<2；当x＝8时，y＝17，|17－16|<2， 所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的．
4．(2016·东北师大附中四模)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：
甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．
(1)根据题中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；